拉普拉斯变换公式表_MIT—微分方程笔记20 拉氏变换求解线性常微分方程

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第20讲 拉氏变换求解线性常微分方程

Using Laplace Transform to Solve ODEs

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拉普拉斯变换：函数 f(t)变换为

。下面为拉普拉斯变换的基本公式

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拉普拉斯变换存在的条件

本讲主要介绍如何应用拉普拉斯变换求解微分方程，而在此之前首先要保证拉普拉斯变换存在。为保证变换结果存在，广义积分

要收敛。而保证条件即为函数不能增长过快，需要
可以控制其增长。即
（
k>0, C>0）对于任意 t>0成立，这使得
不超过指数型增长。

例：

①三角函数非常简单

。

②幂函数

，可通过评估
加以证明，该函数从0点开始增长，而当
t趋近于无穷时，该比值趋近于0（洛必达法则），函数为连续，且始终为正，因此函数一定存在某极大值，
。

③

在0附近不收敛。

④

增长太快不收敛，二者都没有拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换不能用于包含以上两类函数的微分方程，但是实际上在通常见到的模型中很难遇到

类型的实例。

拉普拉斯变换解微分方程

微分方程

，初值为
。拉普拉斯变换必须有初值条件，但初值可以是参数状态，解函数中会带有这些参数。

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解函数的拉普拉斯变换为 Y(s) ，将微分方程进行拉普拉斯变换得到 Y(s) 的代数方程，解方程得到比例函数

。对该函数进行反拉普拉斯变换得到解函数 y(t)，最困难的一步是反拉普拉斯变换。

导函数的拉普拉斯变换：

(
)

因此有

。从公式可以看到进行拉普拉斯变换需要初值条件。同理可得
。有这两个公式就可以对二阶微分方程进行拉普拉斯变换。

例：微分方程

，初值为
。

在此之前我们求解该方程，要求出齐次方程的解并和方程的特解构成方程的通解，此例中输入函数的指数恰好是特征方程的根，因此需要用到指数移位法求其特解，还需要代入初值条件来确定通解中的参数。解法从头至尾经历相当多的步骤，而拉普拉斯变换要相对简单。

微分方程等式两侧都进行拉普拉斯变换得到：

。

则有

。
关于掩盖法（遮挡法）处理部分分式的内容可以参见18.01单变量微积分第29课“部分分式”。

从

，可推导出
。

进行反拉普拉斯变换得到

。注意第一项即为特解，而后两项为齐次解的线性组合，而且所有的参数都已经确定了，不必单独进行计算。