k重特征值必有k个线性无关的_矩阵可对角化条件，特征向量线性无关条件

Theorem:对于

的矩阵

，当其满足如下条件时可以对角化:

• 具有
  个
  各不相同的特征值(Eigenvalue)
• 的有重特征值，但是
  代数重数(Algebraic Multiplicity)和几何重数(Geometric Multiplicity)相同

Proof:

先证明条件1，假设矩阵

具有各不相同的特征值

，他们各自的特征向量分别为

。用反证法可以证明，假设这些特征向量中存在线性相关的向量，那么假设其中的极大线性无关组为

，且称为基(basis)。

假设任意与基线性相关的特征向量

，根据特征向量的定义有:

将

代入，可以得到:

因

为极大线性无关组，必须要求:

与特征值互异的假设矛盾，因此条件1满足时特征向量必定线性无关。

条件2中的代数重数指的是:

则称

的代数重数为

。这一重复过

次特征值的特征值还有一个几何重数，数值上等于:

因为特征向量是使用

来求解的，因此几何重数恰好等于解空间的维数，

如果矩阵的所有特征值都满足几何重数等于代数重数，就一定有

的特征向量跟

的特征向量线性相关呢？

实际上并不会，用证明条件1的方法可以证明)。

(证毕)

最后来看个最简单的特征值不互异，但是却可以对角化的例子:

这是单位矩阵，它只有一个代数重数和几何重数都为

的特征值

。但它本身就是对角矩阵，如果求解

会发现解空间充满了整个

PS: 矩阵是否可以对角化，特征值和特征向量的情况如何跟矩阵的秩没有直接关系，切勿搞混