本文主要记录信号与系统以及数字信号处理相关知识，主要是辅助自己快速回忆相关知识点
1 连续时间系统的时域和频域分析
1.1 卷积
利用卷积可以求解线性系统零状态响应的物理问题
r ( t ) = e ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e ( τ ) h ( t − τ ) d τ r(t)=e(t) * h(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \taur(t)=e(t)∗h(t)=∫−∞∞e(τ)h(t−τ)dτ
1.2 傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数展开，若f ( t ) f(t)f(t)的周期为T 1 T_{1}T1，角频率ω 1 = 2 π T 1 \omega_{1}=\frac{2 \pi}{T_{1}}ω1=T12π，则
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( n ω 1 t ) + b n sin ( n ω 1 t ) ] f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \left(n \omega_{1} t\right)+b_{n} \sin \left(n \omega_{1} t\right)\right]f(t)=a0+n=1∑∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n − j b n 2 e j n ω 1 t + a n + j b n 2 e − j n ω 1 t ) f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}-\mathrm{j} b_{n}}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{j} n \omega_{1} t}+\frac{a_{n}+\mathrm{j} b_{n}}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{1} t}\right)f(t)=a0+n=1∑∞(2an−jbnejnω1t+2an+jbne−jnω1t)
1.3 连续时间傅里叶变换（CTFT）
将上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中去，导出傅里叶变换
T 1 → ∞ , ω 1 → 0 T_{1} \rightarrow \infty, \quad \omega_{1} \rightarrow 0T1→∞,ω1→0，则离散频谱变成连续频谱
傅里叶正变换：
F ( ω ) = F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} tF(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−jωt dt
傅里叶反变换
f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omegaf(t)=F−1[F(ω)]=2π1∫−∞∞F(ω)ejωt dω
1.4 抽样信号的傅里叶变换
1.4.1 时域抽样
抽样脉冲序列：p ( t ) = ∑ − ∞ + ∞ δ ( t − T s ) p(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-T_{s})p(t)=∑−∞+∞δ(t−Ts)
抽样脉冲序列的傅里叶变换：P ( ω ) = 2 π ∑ − ∞ + ∞ δ ( ω − n ω s ) P(\omega)=2 \pi \sum_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(\omega-n \omega_{\mathrm{s}}\right)P(ω)=2π∑−∞+∞δ(ω−nωs)
抽样过程可以描述为
f s ( t ) = f ( t ) p ( t ) f_{\mathrm{s}}(t)=f(t) p(t)fs(t)=f(t)p(t)
F s ( ω ) = 1 2 π F ( ω ) ∗ P ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) F_{\mathrm{s}}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} F(\omega) * P(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(\omega-n \omega_{\mathrm{s}}\right)Fs(ω)=2π1F(ω)∗P(ω)=n=−∞∑∞F(ω−nωs)
1.4.2 频域抽样
抽样脉冲序列：δ ω ( ω ) = ∑ − ∞ ∞ δ ( ω − n ω 1 ) \delta_{\omega}(\omega)=\sum_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \omega_{1}\right)δω(ω)=∑−∞∞δ(ω−nω1)
抽样脉冲序列的逆傅里叶变换：F − 1 [ δ ω ( ω ) ] = 1 ω 1 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T 1 ) \mathscr{F}^{-1}\left[\delta_{\omega}(\omega)\right] =\frac{1}{\omega_{1}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{1}\right)F−1[δω(ω)]=ω11∑n=−∞∞δ(t−nT1)
抽样过程可以描述为
F 1 ( ω ) = F ( ω ) δ w ( ω ) F_{1}(\omega)=F(\omega) \delta_{w}(\omega)F1(ω)=F(ω)δw(ω)
f 1 ( t ) = 1 ω 1 ∑ n = − ∞ ∞ f ( t − n T 1 ) f_{1}(t)=\frac{1}{\omega_{1}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f\left(t-n T_{1}\right)f1(t)=ω11n=−∞∑∞f(t−nT1)
2 离散时间系统的时域和频域分析
2.1 卷积
x ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) δ ( n − m ) x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) \delta(n-m)x(n)=m=−∞∑∞x(m)δ(n−m)
2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT）
傅里叶正变换：
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑∞x[n]e−jωn
傅里叶逆变换：
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{~d} \omegax[n]=2π1∫−ππX(ejω)ejωn dω
X ( e j ω ) X\left(e^{j \omega}\right)X(ejω)是周期函数，周期为2 π 2\pi2π
2.3 离散傅里叶变换（DFT）（有限长离散变换）
X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π k n / N ， 0 ⩽ k ⩽ N − 1 X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi k n / N}，0 \leqslant k \leqslant N-1X[k]=n=0∑N−1x[n]e−j2πkn/N，0⩽k⩽N−1
定义
W N = e − j 2 π / N W_{N}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi / N}WN=e−j2π/N
则
X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] W N k n , 0 ⩽ k ⩽ N − 1 X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{k n}, \quad 0 \leqslant k \leqslant N-1X[k]=n=0∑N−1x[n]WNkn,0⩽k⩽N−1
DTFT与DFT之间的关系
长度为N的序列x [ n ] x[n]x[n]的N点DFT序列X [ k ] X[k]X[k]就是其傅里叶变换X ( e j ω ) X(e^{j\omega})X(ejω)在N个等间隔频率ω k = 2 π k / N \omega_{k}=2\pi k/Nωk=2πk/N上的一组频率样本
2.4 快速傅里叶变换（FFT）
FFT是DFT计算的简化
2.5 z变换域中的离散时间系统
BIBO稳定的LTI数字滤波器的传输函数H(z)的收敛域一定包含单位圆
FIR系统：没有非零极点，系统是稳定的
IIR系统：至少有一个非零极点