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算法时间复杂度
定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题模型n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，成为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
推导大O阶方法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则丢弃与这个项相乘的常数
常数阶
通过高斯算法来推导：
int n = 100;
int r = (1 + n) * (n >> 1);
System.out.println(r);
不管 n 的数值是多少，这段代码始终只会执行3次。
与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
线性阶
通过求100的阶加来推导：
int n = 100,k = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
k += i; //执行一次
}
System.out.println(k);
上面代码循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码要执行n次。
对数阶
int i = 1;
while(i<n)
{
i = i * 2;
}
由于每次 i 乘以2后，就更接近n。可知x个2相乘后>=n退出循环，由 2ᕽ =n可得x=㏒₂ⁿ。所以这个循环的时间复杂度为O(㏒n)。
平方阶
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}
}
时间复杂度为：O(n²)
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}
}
时间复杂度为：O(nm)
循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
a:for (int i = 0; i < n; i++) {
b:for (int j = i; j < n; j++) {
//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}
}
推导过程：
| i | 循环执行次数 |
|---|---|
| i=0 | 循环b执行n次 |
| i=1 | 循环b执行n-1次 |
| i=2 | 循环b执行n-2次 |
| i=n-1 | 循环b执行1次 |
可得：n+(n-1)+(n-2)+1=（首项+尾项）*项数/2=（n+1）*n/2=n²/2+n/2
所以经过推导后最终可得：O(n²)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}
}
通过以上方式推导，可得：O(n²)
常见时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 | 常见操作 |
|---|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 | 普通语句 |
| 2n+3 | O(n) | 线性阶 | 循环 |
| 3n²+2n+1 | O(n²) | 平方阶 | 双层循环 |
| 5㏒₂ⁿ+20 | O(㏒n) | 对数阶 | 二分策略 |
| 2n+3n㏒₂ⁿ+19 | O(n㏒n) | n㏒n阶 | 分治 |
| 6n³+2n²+3n+4 | O(n³) | 立方阶 | 三层循环 |
| 2ⁿ | O(2ⁿ) | 指数阶 | 穷举查找 |
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1) <O(㏒n) <O(n) <O(n㏒n)< O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)
从O(n³)开始，过大的n都会使得结果变得不现实，所以不作讨论。
算法空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n)) ，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
参考：
大话数据结构
https://www.zhihu.com/question/21387264