博主正在学习 域 ，参考材料为

• field theory（Second Edition）–Steven Roman
• 代数学引论（第三版）–聂灵沼，丁石孙
• 近世代数（第二版）–韩士安，林磊

内容框架为“ 应用代数 课程–丁宁老师”所学知识，做一些笔记供自己回忆，如有错误请指正。整理成一个系列 域论 ，方便检索。

环，域

整环 Integral Domain/ID

• 无零因子
• 交换幺环

素元和不可约元

定义

• 素元：整环 $D$ 中非零非单位， $\forall a,b\in D$ ，如果 $p\mid ab\to p\mid a$ 或 $p\mid b$ 。
• 不可约元：整环中非零非单位，无真因子

性质

• 在ID中，素元是不可约元
• 在UFD中，不可约元是素元

素理想和极大理想

定义

• 素理想： $R$ 是交换环， $P$ 是 $R$ 的真理想。 $\forall a,b\in R$ ，如果 $ab\in P$ ， $\to a\in P$ 或 $b\in P$ 。
• 极大理想： $R$ 是交换环， $M$ 是 $R$ 的真理想。对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$ ，必有 $N=M$ 或 $N=R$ 。

性质

• 在交换幺环 $R$ 中， $I$ 是 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的素理想 $\iff R/I$ 是整环。
• 在交换幺环 $R$ 中， $I$ 是 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的极大理想 $\iff R/I$ 是域。
• 素元生成的非零理想是素理想
• 不可约元在PID中生成的理想为极大理想

ED $\to$ PID $\to$ UFD

定义

• 欧几里得整环 ED
• 主理想整环 PID
• 唯一分解整环 UFD

性质

• ED一定是PID，PID一定是UFD
• 整环上多项式环是整环
• UFD上多项式环是UFD
• PID上多项式环不一定是PID
• 域 $F$ 上多项式环 $F[x]$ 是ED

多项式

定义：

• 本原多项式： $c(f)=1$
• 极小多项式：对于 $\alpha$ ，唯一的首一不可约多项式 $p(x)\in F[x]$ 使得 $p(\alpha )=0$
• 在域 $F$ 上分裂：多项式的根都属于域 $F$
• 重根： $f(x)=(x-\alpha {)}^e,e>1,\alpha \in K$ ，则 $\alpha$ 为 $f(x)$ 在 $K$ 内的 $e$ 重根， $e$ 为重数。
• 共轭： $\alpha$ 与 $\beta$ 共轭， $\alpha$ 与 $\beta$ 的极小多项式相同

性质：

• 高斯引理： $c(fg)=c(f)c(g)$
• $f(\alpha )=0\iff p(x)\mid f(x)$ ， $p(x)$ 是 $I_{\alpha }$ 的生成元， $I_{\alpha }=<p(x)>$
• 判断多项式不可约 Eisenstein’s Criterion：。在整环 $R$ 上， $p(x)=a_0+a_{1}x+\dots \dots +a_n{x}^n\in R[x]$ ，如果存在素数 $p\in R$ ，满足 $p\mid a_i(0\le i\le n-1)$ ， $p\nmid a_n$ ， $p^2\nmid a_0$ ，则 $p(x)$ 不可约

域的扩张

有限生成扩张

$E=F(S)$ ， $S$ 是一个有限集合

• $F(S\cup T)=F(S)(T)$

代数扩张

$E/F$ ， $\forall \alpha \in E$ ， $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的

单代数扩张

$E=F(\alpha ),\alpha \in E$ ， $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的

• $F(\alpha )$ 是代数的
• $F(\alpha )$ 是有限的
• $F(\alpha )=f(\alpha )|f(x)\in F[x],deg(f)<deg(p_{\alpha })$
• $F(\alpha )\cong \frac{F[x]}{p_{\alpha }(x)}$
• $[F(\alpha ):F]=deg(p_{\alpha })$

有限扩张

$[E:F]$ 是有限的

• $E/F$ 是有限扩张 $\iff E/F$ 是有限生成的代数扩张， $E=F({\alpha }_1,\dots \dots {\alpha }_n)$
  • $E/F$ 是有限扩张 $\to E/F$ 是代数扩张
  • $E/F$ 是代数扩张，不能推出 $E/F$ 是有限扩张，反例 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$
• 有限扩张是单扩张（有限域的乘法群是循环群）

代数闭的，代数闭包

定义

• 代数闭的：域 $E$ 中的任何非常系数多项式在 $E$ 中分裂
• 代数闭包 $\overline{F}$ ： $A/F$ 是代数的， $A$ 是代数闭的，在代数闭域 $E$ 中所有在 $F$ 上代数的元素 ${\alpha }_1\dots \dots {\alpha }_n$ ， $A=F({\alpha }_1\dots \dots {\alpha }_n)$

性质

• 对任意域 $F$ ，存在扩域 $E/F$ 是代数闭的（ 代数闭域存在不唯一 ）
• 在 $F$ 的代数闭域 $E$ 中，存在唯一的代数闭包 $A$ ， $F<A<E$ （ 代数闭包存在唯一 ）
• 域 $F$ 的任意两个代数闭包是同构的

以下情形等价

• $A$ 是 $F$ 的代数闭包
• $A/F$ 是代数的，域 $A$ 中的任何非常系数多项式在 $A$ 中分裂
• $A$ 是 $F$ 的极大代数扩张
• $A$ 是 $F$ 的极小代数闭域

分裂域

对于多项式族 $\mathcal{F}，\forall f(x)\in \mathcal{F}，f(x)\in F[x]$ 的所有根在 $E/F$ 上， $E$ 是包含 $f(x)\in F[x]$ 所有根的最小域。

• 在 $\overline{F}$ 中，对于多项式族 $\mathcal{F}$ 存在唯一的分裂域。
• 在不同的代数闭域中， $F<S_1<K_1,F<S_2<K_2$ ， $S_1\cong S_2$ 。

正规扩张

$F<K<\overline{F}$ ，如果 $F$ 上不可约多项式有一个根在 $K$ 中，那么所有根都在 $K$ 中。

• $K$ 是分裂域，对应的多项式族是MinPoly ( K , F ) = { m i n ( α , F ) ∣ α ∈ K } (K,F)=\{min(\alpha,F)|\alpha\in K\} ( K , F ) = { m i n ( α , F ) ∣ α ∈ K }
• $K$ 是不变的， $\sigma (K)=K$ ， $\sigma :K\to \overline{F}$

可分扩张

定义：

• 可分多项式： $p(x)\in F[x]$ 在它的分裂域内只有单根， $p(x)$ 为 $F$ 上的可分多项式
• 可分元素： $\alpha \in K,K/F$ 为代数扩张， $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式是 $F$ 上可分多项式
• 可分扩张： $K/F$ 的每个元素在 $F$ 上都是可分的
• 完备域：特征为0，或者，特征为 $p$ 且 $F^p=F$

性质：

• $f(x)$ 在分裂域 $K$ 内无重根 $\iff (f(x),f^{\prime }(x))=1$
• $F[x]$ 内不可约多项式有重根 $\iff f^{\prime }(x)=0$
• $F$ 的特征为0，不可约多项式无重根
• $F$ 的特征为 $p\ne 0$ ，仅当存在 $F$ 上的某个多项式 $g(x)$ 使得 $f(x)=g(x^p)$ 时 $f(x)$ 有重根。
• $f(x)$ 完备域上的不可约多项式，则 $f(x)$ 无重根。
• 有限域是完备域
• 不可约多项式 $f(x)$ 在分裂域 $E$ 中的所有根都有相同的重数， $E$ 的特征为 $p$ ，则 $f(x)=\Pi (x-\alpha {)}^{p^e}$
• 有限可分扩张是单扩张（例： $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ ）

有限域

有限域结构

• $F^{\ast }$ 是循环群
• 特征为 $p$
• 是分裂域， $|F|=q=p^n,ord(F^{\ast })=q-1,{\alpha }^{q-1}=1,{\alpha }^q=\alpha ,\alpha$ 是 $f_q(x)=x^q-x$ 的根， $F=Roots(x^q-x)=split{s}_{{\mathbb{Z}}_p}(f_q)$
• 在代数闭域 $\overline{F}$ 下，存在唯一的 $F$ ；在不同代数闭域下， $F\cong F^{\prime }$
• $F_p<F_q$ ，是正规扩张，可分扩张，伽罗瓦扩张

子域结构

• $F_{q^{\prime }}<F_q,q^{\prime }=p^d,q=p^n,|F_{q^{\prime }}^{\ast }|=p^d-1,|F_q^{\ast }|=p^n-1\Rightarrow p^d-1\mid p^n-1\Rightarrow d\mid n$ （例： $F_{2^{10}}$ 的子域： $F_{2^1},F_{2^2},F_{2^5},F_{2^{10}}$ ）
• Frobenius自同构 $\sigma$ ： $\sigma (a)={\alpha }^q,\forall \alpha \in F_{q^n}$ ，是 $F_{q^n}$ 到 $F_{q^n}$ 的 $F_q$ 自同构
• $F_{q^n}/F_q$ ， $G=Au{t}_{F_q}(F_{q^n})$ ， $|G|=[F_{q^n}:F_q]=n$ ，是循环群，生成元为 $\sigma$

不可约多项式

• $p(x)$ 的次数 ： $F_{q^d}/F_q$ 是有限域 $\to$ 完备域 $\to$ 无重根 $\to$ 可分扩张 $\to$ 有限可分扩张是单扩张， $F_{q^d}=F_q(\alpha ),\alpha \in F_{q^d}$ ， $[F_{q^d}:F_q]=d$ ， $\alpha$ 的极小多项式 $p(x)$ 的次数为 $d$
• $p(x)$ 的根 ： $p(x)\mid x^{q^d}-x$ ， $F_{q^d}/F_q$ 的Galois群 $G=<\sigma >,|G|=d,\sigma (\alpha )={\alpha }^q,\alpha \in F_{q^d}$ ，群内有 $d$ 个元素： ${\sigma }^0\dots \dots {\sigma }^{d-1}$ ，对应 $p(x)$ 的 $d$ 个根 ${\sigma }^0(\alpha )={\alpha }^q\dots \dots {\sigma }^{d-1}(\alpha )={\alpha }^{q^{d-1}}$
• $p(x)$ 的阶 ： $d$ 个根在 $F_{q^d}^{\ast }$ 的阶相同，定义为 $p(x)$ 的阶 $o(p)$ 。如果 $o(p)=q^d-1$ ，则 $p$ 为本原多项式，所有根都是 $F_{q^d}^{\ast }$ 的生成元。
• $p(x)$ 的根和阶的关系 ： $o(p)\mid q^d-1,q^d\equiv 1$ mod $o(p)$
• 计算 $p(x)$ 的阶 ： $v\mid q^d-1,p(x)\mid x^v-1$

有限域的算术

• 加法： $F_q=F_p(\alpha )$
• 乘法： F q ∗ = < α > = { α 0 , … … α q − 2 } F_q^*=<\alpha>=\{\alpha^0,……\alpha^{q-2}\} F q ∗ ​ = < α > = { α 0 , … … α q − 2 }

分解多项式 ：

• 在扩域上分解：
  • 在 $F_2$ 上的 $x^{15}-1$ ，在 $F_{2^4}$ 上分解， G F ( 16 ) = { 0 , 1 , α … α 14 } GF(16)=\{0,1,\alpha…\alpha^{14}\} G F ( 1 6 ) = { 0 , 1 , α … α 1 4 } ，本原多项式为 $p(x)=x^4+x+1$ ，
  • 不可约多项式的根共轭，即 $\sigma (\alpha )={\alpha }^2$ ， $\alpha$ 与 ${\alpha }^2,{\alpha }^4,{\alpha }^8$ 共轭，对应的不可约多项式为 $(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^4)(x-{\alpha }^8)=x^4+x+1$
• 在原域上分解：BerleKamp算法
  • $x^{ip}=a_i(x)f(x)+r_i(x),deg(r_i)<d$
  • $M=(r_{i,j}),G(M-I)=0$
  • $f(x)=gcd(f,g)\cdot gcd(f,g-1)$

分圆域

• $x^n-1={\Pi }_{d\mid n}{Q}_d(x)$
• $Q_n(x)={\Pi }_{d\mid n}(x^d-1{)}^{\mu (n/d)}$
• 找本原多项式 ：
  • $F_p<F_{p^n}=F_p(\alpha ),\alpha$ 的极小多项式为 $p(x)$ ,deg $(p)=n$ ， $p$ 为不可约多项式
  • 要使 $p$ 为本原多项式，即 $o(p)=p^n-1$ ，那么 $p$ 的所有根都满足 $x^{p^n-1}=1$ ，属于 $Q_{p^n-1}(x)$ ，即 $p\mid Q_{p^n-1}(x)$ ，
  • 用BerleKamp算法分解 $Q_{p^n-1}(x)$ 即可。

代数编码

$k$ 为消息位， $r$ 为校验位， $n=k+r$ 为码字(codeword / $c$ )长度

重复码

$k=1,r=n-1$

单奇偶校验码

$k=n-1,r=1,{\sum }_{i=1}^{k+1}{c}_i=0$

• 查错： ${\sum }_{i=1}^{k+1}{c}_i=0$ 则无错发生， ${\sum }_{i=1}^{k+1}{c}_i=1$ 则有一个错发生，可以 查1个错
• 纠错： 无纠错能力

线性码

校验位是部分消息位的和

• 校验矩阵 ： $H_{r\times n}$
• C = { c ∈ F 2 n ∣ H ⋅ c T = 0 } C=\{c\in F_2^n|H\cdot c^T=0\} C = { c ∈ F 2 n ​ ∣ H ⋅ c T = 0 }
• $R=C+E$
• $S^T=H\cdot R^T,H\cdot C^T=0,\Rightarrow S^T=H\cdot E^T$
• $S^T=H{E}^T=E_1{H}_1+\dots \dots E_n{H}_n,H_i$ 为 $H$ 的列向量
• $H$ 的列向量均不为0，且各不相同
• 生成矩阵 ： $G_{k\times n},c=x\cdot G,x\in F_2^k,c\in F_2^n$

查错： 检测2个以上错误 ，如果 $S^T\ne H_i$ 且 $S^T\ne 0$ ，则发生2个及以上错误
纠错： 纠1个错 ，如果 $S^T=H_i$ ，则 $E_i=1$

汉明码

$n=2^r-1$

• $H_{r\times n}=H_{r\times (2^r-1)}=[{\alpha }_1\dots \dots {\alpha }_{2^r-1}]$
• $H_{2r\times n}^{\prime },f({\alpha }_i)={\alpha }_i^3,H^{\prime }$ 第一行为 $[{\alpha }_1\dots \dots {\alpha }_{2^r-1}]$ ，第二行为 $[f({\alpha }_1)\dots \dots f({\alpha }_{2^r-1})]$
• $S^T=H^{\prime }{E}^T,$ 第一行为 ${\alpha }_i+{\alpha }_j$ ，第二行为 $f({\alpha }_i)+f({\alpha }_j)$

查错： 检测2个以上错误
纠错： 纠2个错

循环码

• $f(x)=x^n-1,R_n=\frac{F_q[x]}{<f(x)>}.\forall c\in C,\forall f\in R_n\Rightarrow c\cdot f\in C\Rightarrow C$ 是 $R_n$ 的理想

• 循环码 $\iff$ 理想

• 生成多项式 ： $C$ 中存在唯一的首一多项式 $g(x)$ ，次数最低， $C=<g(x)>$ ，deg $(g)=r$ ， $dim(C)=n-r$

  • $g(x)\mid x^n-1$
  • deg ( g ) = r , C = { r ′ g ∣ d e g ( r ′ ) < n − r } = { g , x g , … … x n − r − 1 g } (g)=r,C=\{r'g|deg(r')<n-r\}=\{g,xg,……x^{n-r-1}g\} ( g ) = r , C = { r ′ g ∣ d e g ( r ′ ) < n − r } = { g , x g , … … x n − r − 1 g }
  • $p(x)\in R_n$ 是某个循环码的生成多项式 $\iff p(x)\mid x^n-1$
  • $x^n-1$ 的不同因子 $g$ ，对应不同理想 $C=<g>$ ，对应不同循环码
  • 生成矩阵 $G_{k\times n}=[g,xg\dots \dots x^{n-r-1}g{]}^T$ ， $g$ 的系数从 $g^0$ 开始

• 校验多项式： $x^n-1=g(x)\cdot h(x)$ ，deg $(g)=r$ ，deg $(h)=n-r$

  • C = { p ( x ) ∈ R n ∣ p ( x ) ⋅ h ( x ) = 0 } C=\{p(x)\in R_n|p(x)\cdot h(x)=0\} C = { p ( x ) ∈ R n ​ ∣ p ( x ) ⋅ h ( x ) = 0 }
  • 校验矩阵 $H_{r\times n}=[h,xh\dots \dots x^{r-1}h]$ ， $h$ 的系数从 $h^{n-r}$ 开始

• Zeros：生成多项式的根

  • $g(x)\mid x^n-1$ ， $g(x)$ 的根属于 $x^n-1$ 的根，其中 $g(x)$ 的根为Zeros， $x^n-1$ 的根为非Zeros。
  • $x^n-1=m_1\dots \dots m_t$ ， $m_i\mid g$ ， g = l c m { m 1 … … m s } , 1 ≤ i ≤ s g=lcm\{m_1……m_s\}, 1\le i\le s g = l c m { m 1 ​ … … m s ​ } , 1 ≤ i ≤ s

BCH码