五采样点离散求导

阅读时请注意：本篇的内容来自于自己做的一套近似模拟，市面上可能已经有类似模拟。也有可能跟市面上的不同，这里的导数结果不是通用结果。

对于给定五个等距采样点$s_i,(i=-2,-1,0,1,2)$。可做关于这五个点的离散导数（本质只有四个点，中间的点将被忽略）

先给这五个点分配五个顶点坐标：$(i,s_i),(i=-2,-1,0,1,2)$

这里用四次多项式函数$f_q$近似描绘这五个点
$$f_q(x)=\sum _{i=0}^4{a}_i{x}^i$$
先认为采样间距为1，之后来更改采样间距。
现在利用给定五个坐标点来求所有的系数$a_k,(k=0,1,2,3,4)$
$$M_q:=\left(\begin{array}{ccccc}16& -8& 4& -2& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 16& 8& 4& 2& 1\end{array}\right),\vec{x}:=\left(\begin{array}{c}{a}_4\\ a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0\end{array}\right),\vec{y}:=\left(\begin{array}{c}{s}_{-2}\\ s_{-1}\\ s_0\\ s_1\\ s_2\end{array}\right)$$
$$M_q\vec{x}=\vec{y}$$
$$\vec{x}=M_q^{-1}\vec{y}$$
$$M_q^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{1}{24}& -\frac{1}{6}& \frac{1}{4}& -\frac{1}{6}& \frac{1}{24}\\ -\frac{1}{12}& \frac{1}{6}& 0& -\frac{1}{6}& \frac{1}{12}\\ -\frac{1}{24}& \frac{2}{3}& -\frac{5}{4}& \frac{2}{3}& -\frac{1}{24}\\ \frac{1}{12}& -\frac{2}{3}& 0& \frac{2}{3}& -\frac{1}{12}\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$$

这里我们知道
$$f_q^{\prime }(0)=a_1$$
所以我们只要$M_q^{-1}$的倒数第二行向量与$\vec{y}$做内积即可。

结论

$$D[s_i]:=\frac{1}{12}{s}_{-2}+\frac{-2}{3}{s}_{-1}+\frac{2}{3}{s}_1+\frac{-1}{12}{s}_2$$

采样间距

现在我们把像素间距从1改到$\delta >0$
其对应插值函数设为$g_q(x)$
很明显：
$$g_q(x)=f_q(\frac{x}{\delta })$$
所以其导数为：
$$g_q^{\prime }(0)=(\frac{d{f}_q(u)}{du}\cdot \frac{du}{dx}){|}_{x:=0}(u:=\frac{x}{\delta })$$
$$D_{\delta }[s_i]:=\frac{D[s_i]}{\delta }=\frac{s_{-2}-8s_{-1}+8s_1-s_2}{12\delta }$$