令环$R$上的$n$次多项式为：
$$a(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\in R[x]$$

复数域上

复数域是的代数封闭的。因此，复数域上的多项式$a(x)$都可以写成：
$$a(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i)$$
因此，$a(x)$在复域上不可约$⟺n=1$

实数域上

如果$\alpha$是一个非实的复根，那么共轭$\bar{\alpha }$也是根，且它们的重数相同。从而实数域上的多项式$a(x)$都可以写成
$$a(x)=\prod _{{\alpha }_j\in R}(x-{\alpha }_j)\prod _{{\alpha }_k\notin R}(x-{\alpha }_k)(x-{\bar{\alpha }}_k)$$
那么：

1. 如果$n=1$，那么它在实数域上不可约
2. 如果$n=2$，它在实数域上不可约$⟺\Delta =b^2-4ac<0$
3. 如果$n>2$，那么它在实数域上是可约的

如果$n$是奇数，它包含至少一个实根。

有理数域上

有理数域是整数环的分式域，我们将有理数域上的多项式$f(x)$乘以它系数的最小公倍数，得到整系数的有理数多项式$g(x)$，那么$f(x)$在有理域上不可约$⟺g(x)$在有理域上不可约。

有理数域上的整系数多项式可约，那么它一定可以写作两个度数大于等于$1$的整系数多项式因子的乘积。

如果整系数多项式$a(x)$的系数互素，我们称它为本原多项式。

对于整系数多项式，

1. 如果$n=1$，那么它在有理域上不可约
2. 如果$n=2,3$，在有理域上不可约$⟺$有有理根，因此只需验证所有可能的有理根：令$i|a_0,j|a_n$分别是末项系数和首项系数的因子，所有可能的有理根为$\frac{i}{j},\forall i,j$
3. 注意，如果$n>3$，即使没有有理根也可以是可约的，比如$(x^2+1{)}^2$可约但没有有理根
4. 形如$a{x}^2+bx+c$的整系数多项式，如果$abc$是奇数，那么它在有理数域上不可约

Eisenstein判别法：若存在素数$p$，使得对于整系数多项式$a(x)$的系数有

1. $p\nmid a_n$
2. $p\mid a_i,\forall i=0,1,\cdots ,n-1$
3. $p^2\nmid a_0$

那么$a(x)$在有理数域上不可约。

实际上，有些多项式无法使用Eisenstein判别法，因此可以做适当变形后再使用Eisenstein判别法。

Eisenstein间接判别法：$a(x)$在有理数域上不可约$⟺\forall a\ne 0,b\in Q$，$f(ax+b)$在有理数域上不可约。

Eisenstein判别法的派生：若存在素数$p$，使得对于整系数多项式$a(x)$的系数有

1. $p\nmid a_0$
2. $p\mid a_i,\forall i=1,\cdots ,n-1,n$
3. $p^2\nmid a_n$

那么$a(x)$在有理数域上不可约。

Eisenstein判别法的推广：若存在素数$p$，令$d=gcd(a_0,\cdots ,a_n)$，使得对于整系数多项式$a(x)$的系数有

1. $p\nmid \frac{a_j}{d},\exists j=0,1,\cdots ,n$
2. $p\mid \frac{a_i}{d},\forall i\ne j$
3. $p^2\nmid \frac{a_0}{d}$
4. $p^2\nmid \frac{a_n}{d}$
5. $p\nmid \frac{a_j}{d}-b$，这里$b\mid \frac{a_0{a}_n}{d^2}$且$b\ne \frac{a_0{a}_n}{d^2}$

那么$a(x)$在有理数域上不可约。

上述的Eisenstein判别法都是判断多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件。

模$p$剩余类判别法：对于整系数多项式$a(x)$，令$p\nmid a_n$，那么记
$$\bar{a}(x)=a(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\in Z_p[x]$$
若$\bar{a}(x)$在某个素域$Z_p$上不可约，那么$a(x)$在有理数域上不可约。若$a(x)$在有理数域上可约，那么模掉任意的素数$p$都可约。

奇数次多项式判别法：若存在素数$p$，使得对于$2n+1$次的整系数多项式$a(x)$的系数有

1. $p\nmid a_{2n+1}$
2. $p\mid a_i,\forall i=n+1,n+2,\cdots ,2n$
3. $p^2\mid a_i,\forall i=0,1,\cdots ,n$
4. $p^3\nmid a_0$

那么$a(x)$在有理数域上不可约。

有限域上

对于任意的$n\in Z^{+}$，在$GF(q)[x]$中总存在$n$次不可约多项式。

在$GF(q)[x]$中所有次数整除$n$的首一不可约多项式的乘积为：
$$x^{q^n}-x=x(x^{q^n-1}-1)$$
若$a(x)\ne x$是在$GF(q)[x]$中的$n$次不可约多项式，若$\alpha$是它在$GF(q)$的代数闭包里的一个根，那么

1. 有$n$个不同的根，即一组共轭元$\alpha ,{\alpha }^q,{\alpha }^{q^2},\cdots ,{\alpha }^{q^{n-1}}$，且$n$是满足${\alpha }^{q^n}=\alpha$的最小正整数
2. 若$ord(\alpha )=l$，那么$l\mid q^n-1$，且$n$是满足$q^n\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}l$的最小正整数
3. 这组共轭根的乘法阶都是$l$

分圆多项式

$n\ge 1$，$x^n-1$在域$K$上的分裂域（splitting field）叫做$n$次分圆域（cyclotomic field），记做$K^{(n)}$，而所有的根叫做$n$次单位根（roots of unity），记做$E^{(n)}$。

域$K$的特征为$p$，

1. 若$(n,p)=1$或者$p=0$，那么$E^{(n)}$是$K^{(n)}$的一个$n$阶循环乘法子群，其生成元$\xi$叫做$n$次本原单位根（primitive）
2. 若$n=m{p}^e,(m,p)=1$，那么$K^{(n)}=K^{(m)}$且$E^{(n)}=E^{(m)}$

若$(n,p)=1$或者$p=0$，那么定义$K$上的$n$次分圆多项式：
$$Q_n(x)=\prod _{1\le s\le n,(s,n)=1}(x-{\xi }^s)$$
且
$$x^n-1=\prod _{d\mid n}{Q}_d(x)$$
$Q_n(x)$的度数为$\varphi (n)$，系数都属于$K$的素域。若$p=0$（素域是有理数域），那么进一步的系数属于整数环。

分圆多项式是有理数域上不可约的整系数多项式，从而也是某一些素域$Z_p$上（不是全部）的不可约多项式。

令$r$是素数且$(r,p)=1$或者$p=0$，$k$是自然数，那么
$$\begin{array}{rl}{Q}_{r^k}(x)& =\frac{x^{r^k}-1}{Q_1(x)Q_r(x)\cdots Q_{r^{k-1}}(x)}\\ & =\frac{x^{r^k}-1}{x^{r^{k-1}}-1}\\ & =1+x^{r^{k-1}}+x^{2r^{k-1}}+\cdots +x^{(r-1)r^{k-1}}\end{array}$$
特别的，

1. 取$k=1$，则$Q_r(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{r-1}$
2. 取$r=2$，则$Q_{2^k}(x)=1+x^{2^{k-1}}$

因此，我们容易的构造了上述两类不可约多项式！