本节就线性空间的基和维数进行分析总结，这一节是考研中容易出现的一部分，虽然概念性比较多，但是容易理解，也是很基础容易掌握的一部分，所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义，定理及其例题.
一. 域F上线性空间的定义及其简单性质
定义1. 一个非空集合V，如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射)，其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射)，并满足下述8条运算法则
1.
2.
3.V中有一个元素，记作0，它使得
具有该性质的元素0称为V的零元；
4.对于
，存在
,使得
具有该性质的元素
称为 V 的零元.
5.
其中 1 是 F 的单位元.
6.
7.
8.
那么称V是域F上的一个线性空间.
从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质：
性质1. V中的零元是唯一的.
性质2. V中每个元素
的负元是唯一的.
性质3.
性贾 4.
性质 5.
性质 6.
二.向量集的线性相关与线性无关
命题1. 在域F上的线性空间V中，如果向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组线性相关.
命题2. 在域F上的线性空间V中，包含零向量的向量集是线性相关的.
命题3. 在域F上的线性空间V中，元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.
命题4. 在域F上的线性空间V中，设非零向量
可以由向量集W线性表出，则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.
命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组
线性无关, 则向量
可以由向量
线性表出的充分必要条件为
线性相关.
三.基和维数
定义2.设V是域F上的线性空间，V中的向量集S如果满足下述两个条件：
1.向量集S是线性无关的；
2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.
定义3. 设V是域F上的线性空间，如果V有一个基是由有限多个向量组成，那么称V是有限维的；如果V有一个基含有无穷多个向量，那么称V是无限维的.
定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的，那么V的任意两个基所含向量的个数相等.
推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的，那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.
证明： 假如V有一个基为
那么可知V的任意一个基都含有n个向量，这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.
定义4.设V是域F上的线性空间，如果V是有限维的，那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数，记作
如果V是无限维的，那么记
岩宝小提示：只含零向量的线性空间的维数为0.
命题6. 设V是域F上的n维线性空间，则V中任意n+1个向量都线性相关.
命题7. 设V是域F上的n维线性空间，则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.
命题8.设V是域F上的n维线性空间，如果V中的每一个向量都可以由向量组
线性表出，那么
是 V 的一个基.
命题9.设V是域F上的n维线性空间，则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设
(1)证明：全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间，记为 C(A).
(2)求C(A)的维数与基.
证明 ：(1)
任意
由于
所以
所以
对任意的
有
所以
又因为矩阵都满足线性空间的运算律
所以C(A)是R上的线性空间.
(2)设
且AB=BA,可得
故可得
为C(A)的一组基，从而
岩宝小提示：当出现可交换矩阵的时候，一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域，
表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，
是 P 上的线性空间，令
求 V 的基.
解：任取
设
则
而 B 可由
线性表示，而 c 的对角元满足
其基础解系为
故C可由
线性表示，从而V的基为
岩宝同步思考练习
1.(2004 陕西师范大学)设
是
矩阵，其中
(1) 求 det(A).
(2)设
求 W 的维数及一组基.
2.(2003武汉大学)设
(1)求A的秩.
(2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.
3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数；
(2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数
4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组
的解空间W是3维的，试求a,b的值，并求W的一组基，解空间有可能为2维空间吗？