相关知识介绍

• 排列
  我们把由1,2,3,…,n组成的一个有序数组，称为$n$级排列。
  例如：12和21都是2级排列，123为3级排列。
  那么3145是不是一个5级排列呢？!!!3145不是5级排列。
  注：$n$级排列中的数必须是连续的；$n$级排列一共有$n！$种。
• 逆序
  在一个$n$级排列中，如果较大的数排在较小的数前面，则称为逆序，记作$A$。而逆序的总数称为逆序数，记作$N(A)$。
  例如：排列4213中，数字“4”比数字“2”大，且排在“2”前面，则该排列是一个逆序。它的逆序数记作$N$(4213)=3+1+0=4。(4后面有3个数比4小，2后面有1个数比2小，1后面有0个数比1小。)
  逆序数为偶数时，称为偶排列；逆序数为奇数时，称为奇排列。
  特别地，对$N(123\dots n)=0$，称$123\dots n$为标准排列，或自然排列。
  对$N(n(n-1)\dots 21)=n-1+(n-2)+\dots +2+1=\frac{(n-1)n}{2}$
  为避免出错，数逆序数时，从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，再求出累和。
• 对换
  在一个$n$级排列中，交换两个数字的位置，称为对换。
  例如：排列12345（奇排列）和13245（偶排列）就是数字2和数字3的位置进行了对换。
  注：①一个排列做偶数次对换，奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，奇偶性会发生改变。特别地：一个排列经过1次对换，奇偶性会发生改变。
  ② 在$n$级排列中，奇排列、偶排列的个数各有$\frac{n!}{2}$个。

引言

学习$n$阶行列式之前，我们可以先回顾一下二元一次方程组的求解过程。假设有二元一次方程组如下所示：
$$\{\begin{array}{l}5x+6y=7\\ 9x+4y=3\end{array}$$
通常的思想是：用消元法求解$x$和$y$。
也就是分别将方程组变形为$\{\begin{array}{l}5\times 9x+6\times 9y=7\times 9①\\ 9\times 5x+4\times 5y=3\times 5②\end{array}$和$\{\begin{array}{l}5\times 4x+6\times 4y=7\times 4①\\ 9\times 6x+4\times 6y=3\times 6②\end{array}$，再分别用$①-②$求得$x$和$y$的值，即：$$x=\frac{3\times 6-7\times 4}{9\times 6-5\times 4},y=\frac{7\times 9-3\times 5}{9\times 6-5\times 4}$$
假设我们定义一种新的运算：
$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc(1)$$
则上述$x$和$y$的值可以用新运算表示为：
$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ 4& 6\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}9& 5\\ 4& 6\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 5& 9\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}9& 5\\ 4& 6\end{array}\right|}$$
这里提到的新运算$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$，就是我们所要学习的二阶行列式的运算。

二阶行列式

二阶行列式通常写作：$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$$
① 对任一元素$a_{ij}$，$i$是元素$a_{ij}$的行标，$j$是元素$a_{ij}$的列标。例如：$a_{11}$代表该行列式第1行第1列的元素。
② 主对角线（左）和次对角线（右）示例：

③ 二阶行列式运算可以简单记忆为：主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积，用式子表示为：
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

小练习
（1） 计算$\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|$的值

解：$\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|=1\times 9-3\times 7=-12$

（2） 计算$\left|\begin{array}{cc}吱& 美\\ 女& 雨\end{array}\right|$的值

解：$\left|\begin{array}{cc}吱& 美\\ 女& 雨\end{array}\right|=吱雨一美女$

三阶行列式

与二阶行列式类似的，通常将三阶行列式写作：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$
用画线法可以得到三阶行列式的求解结果：

我们可以发现上述结果具有：“三正、三负、共六项”的特点。

小练习
计算$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$的值

解：$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|& =1\times 2\times 1+2\times 1\times 1+0\times 0\times 0-0\times 2\times 1-2\times 0\times 1-1\times 1\times 0\\ & =4\end{array}$
由画线法，我们可以将三阶行列式展开为如下形式：
$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}\\ & =①+②+③-④-⑤-⑥\end{array}$$
观察展开式中的每一项，我们可以得到如下结果：

由上述对比，我们可以发现，对于三阶行列式的展开式：

• 行标始终取为标准排列
• 列标取遍排列的所有可能
• 从不同行不同列取出三个元素相乘，其符号由列标排列的奇偶性决定

像这样的展开方式，我们称之为按行展开。

$n$阶行列式

由上述规律，我们可以很快的写出n阶行列式按行展开的式子：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_n}(-1{)}^{N(j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$
行列式通常用字母$D$表示，上述$n$阶行列式也可以直接写作：$D=|a_{ij}|$
注：只有一个数的行列数，就代表这个数。例如：$|a_{11}|=a_{11}$、$|-1|=-1$（与绝对值符号相区别）

常见的几种三角行列式（除阴影部分有数值，其余部分都为0）

名称	形状	特点
上三角		以主对角线为分割，展开式为$a_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$
下三角		以主对角线为分割，展开式为$a_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$
对角形		以主对角线为分割，展开式为$a_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$
山寨上三角		以次对角线为分割，展开式为$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$
山寨下三角		以次对角线为分割，展开式为$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$
山寨对角形		以次对角线为分割，展开式为$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}$

小练习
将行列式$D_1=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 8\\ 1& 1& 0& 4\\ 2& 2& 0& 5\\ 1& 0& 0& 9\end{array}\right|$按行展开。

参考文献

[1] 宋浩.《线性代数》全程高清教学视频 “惊叹号”系列[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/av29971113?from=search&seid=4757026773102990321,2019-6-12.

下篇笔记地址→ 行列式性质