提示：帮助复习数理统计，教材为茆诗松的《概率论与数理统计》

前言

为了应付期中考试，也是让自己复习，在此开始梳理一下知识点，争取考个好成绩。

---

一、总体与样本

1.总体

在一个统计问题中，我们把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。总体还分为有限总体和无线总体。

2.样本

为了研究总体的分布，我们在总体中随机的抽取n个个体，记录其指标值为 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$称作总体的一个样本，n称为样本容量，或简称样本量，样本中的个体称为样品。

二、样本数据的整理与显示

1.经验分布函数

设 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$是取自总体分布函数为$F(x)$的样本，若将观测值由小到大进行排列，记为$x_{(1)}$，$x_{(2)}$，$\cdots$，$x_{(n)}$，则$x_{(1)}$，$x_{(2)}$，$\cdots$，$x_{(n)}$称为有序样本，用有序样本定义如下函数

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0& 当x<x_{(1)},\\ k/n& 当x_{(k)}\le x<x_{(k+1)}，k=1，2，\cdots ，n-1，\\ 1& 当x\ge x_{(n)},\end{array}$$

则$F(x)$是一非减右连续函数，且满足
$$F_n(-\infty )=0和F_n(\infty )=1$$
由此可见，$F(x)$是一个分布函数，称$F(x)$为该样本的经验分布函数。(这个经验函数其实很好理解，和平常统计频率是一样的，数出所有小于$x_k$的个数，然后除以总数，自然就是小于$x_k$这个时间发生的概率了)

这里书上提了一下格利文科定理，说的是当样本量越多时，经验分布函数越近似于总体分布函数。（如果看公式很难理解的话，可以抽象理解为：当你抽出很多样本后，可以看作把总体全部抽出来了，这样子相当于用频率估计概率了）

2.频数频率表

3.样本数据的图形显示

这两个小结就不啰嗦了，这都是初高中的知识，关于怎么画频数分布表，和频数分布直方图和茎叶图就不多赘述了

三、统计量及其分布

1.统计量与抽样分布

定义：设 $x_1，x_2，x_3，\cdots ，x_n$是取自某总体的样本，若样本函数$T=T(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$中不含有任何未知参数，则称$T$为统计量。统计量的分布称为抽样分布。

个人对统计量的理解就是，你能统计下来的东西，也就是说你先从总体抽样出来一些样本，这些样本被抽样出来，样本值就已经知道了，这些样本所构成的一个信息就是统计量。之所以说统计量不含未知参数，但是它又依赖于未知参数，是因为你的样本毕竟是从总体中抽出来的，既然如此，总体是怎么分布的，你的样本也会受到相应影响，最简单的例子，你的总体如果是 2，那么无论怎么抽样也不可能出现3。我们再推广一下，现在总体的大概分布是知道的，但是它和未知参数有关，那么你的抽样分布也会和这个未知参数有关。

2.样本均值及其抽样分布

定义：设 $x_1，x_2，x_3，\cdots ，x_n$是取自某总体的样本，其算数平均值称为样本均值，一般用$\bar{x}$表示，即
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
在分组样本场合，样本均值的近似公式为
$$\bar{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\cdots +x_k{f}_k}{n}(n=\sum _{i=1}^k{f}_i)$$
其中$k$ 为组数，$x_i$为第$i$组的组中值，$f_i$为第$i$组的频数。（初高中求分组的平均值方法就是，只不过正规化了）

• 性质
  若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之和为0，即
  ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}=0)$。
  数据观测值与样本均值的偏差平方和最小，即在形如$\sum (x_i-c{)}^2$的函数中，$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$最小，其中c为任意给定常数。
  证明

$$\begin{array}{rl}\sum (x_i-c)& =\sum (x_i-\bar{x}+\bar{x}-c{)}^2\\ & =\sum (x_i-\bar{x})+n(\bar{x}-c{)}^2+2\sum (x_i-\bar{x})(\bar{x}-c)\\ & =\sum (x_i-\bar{x}{)}^2+n(\bar{x}-c{)}^2\ge \sum (x_i-\bar{x}{)}^2\end{array}$$
设 $x_1，x_2，x_3，\cdots ，x_n$是来自某个总体的样本，$\bar{x}$为样本均值。
（1）若总体分布为$N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$\bar{x}$的精确分布为$N(\mu ,{\sigma }^2/n)$；
（2）若总体分布未知或者不是正态分布，$E(x)=\mu ,Var(x)={\sigma }^2$存在，则$n$较大的时$\bar{x}$的渐进分布为$N(\mu ,{\sigma }^2/n)$,常记为$\bar{x}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n).$这里渐进分布是指$n$较大时的近似分布。

3.样本方差与样本标准差

这个很简单，记住无偏方差和有偏方差的区别就行，就不说了。我想加快点进度，感觉前面的废话太多了。

4.样本矩及其函数

定义： 设 $x_1，x_2，x_3，\cdots ，x_n$是样本，$k$为正整数，则统计量
$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^k$$称为样本$k$阶原点矩，特别，样本一阶原点矩就是样本均值。统计量
$$b_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^k$$称为样本$k$阶中心矩，特别，样本二阶中心矩就是样本方差。

样本偏度： $${\hat{\beta }}_s=\frac{b_3}{b_2^{\frac{3}{2}}}$$
样本峰度：$${\hat{\beta }}_s=\frac{b_4}{b_2^2}-3$$

5、次序统计量及其分布

1.定义

$x_1，x_2，x_3，\cdots ，x_n$是取自总体为$X$的样本，$x_{(i)}$称为该样本的第$i$个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第 $i$个观测值，其中 $x_{(1)}=min\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$ 称为该样本的最小次序统计量， $x_{(n)}=max\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$ 称为该样本的最大次序统计量。

其实次序统计量就是样本排序后的结果，计算它的概率需要考虑到它出现的位置因素，例如：最小次序统计量可能出现在第一个位置上，可能出现在最后一个位置上，它的计算公式必然要将它的位置给确定，如何要看确定看接下来的公式。

2.单个次序统计量的分布

设总体 $X$ 的密度函数为 $p(x)$ ，分布函数为 $F(x),x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为样本，则第 $k$ 个次序统计量 $x_{(k)}$ 的密度函数为

$$p_k(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(F(x){)}^{k-1}(1-F(k){)}^{n-k}p(x)$$

（$F(x)表示观测小于x的概率，p(x)表示观测值等于x的概率$)

上次提到了想表示次序统计量，必须要固定它的位置，公式其实十分巧妙关键就在于$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$这个系数到底表示了什么呢？
其实很容易理解：
假设计算的是第$k$个次序统计量小于$x$的概率，那么可以肯定的是现在有$k-1$个值小于你的$x$， 并且有$n-k$个值比$x$大，是不是觉得有点灵感了？
那么怎么知道我这个$x_{(k)}$在哪呢？它可能是未排序的第一个，也可能是最后一个。让我们好好想想，我们真的需要知道它具体出现在哪吗？其实并不需要，我们只要算出它出现的可能情况总和就行，也就是$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$种可能。
至于后面的$F(x{)}^{k-1}$就可以看作出现$k-1$个小于$x$观测值的总概率，$(1-F(x){)}^k$就可以看作出现$k$个大于$x$观测值的总概率，再乘上$p(x)$自然就算出来了第$k$个次序统计量的概率密度函数。

3.多个次序统计量及其函数的分布

这里就不说多了，提供个公式，自行拓展下吧！
这里给出任意两个次序统计量的联合分布，次序统计量为$(x_{(i)},x_{(j)})$，联合分布函数为：

$$p_{ij}(y,z)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}{\left[F(y)\right]}^{i-1}{\left[F(z)-F(y)\right]}^{j-i-1}{\left[1-F(z)\right]}^{n-j}p(y)p(z)(y\le z)$$

---

有关三大抽样分布以及充分统计量将会在下一篇博客中复习，有什么问题可以私信或者评论，不定期回复。
续 上次发完博客，发现有两个知识点没提到，现在补上：

6、样本分位数与样本中位数

样本中位数$m_{0.5}$也是一个很常见的统计量，它也是次序统计量的函数，通常如下定义：

$$m_{0.5}=\{\begin{array}{ll}{x}_{(\frac{n+1}{2})},& n为奇数,\\ \frac{1}{2}(x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)})& n为偶数,\end{array}$$
更一般地，样本$p$分位数$m_p$可如下定义：
$$m_p=\{\begin{array}{ll}{x}_{([np+1])},& 若np不是整数,\\ \frac{1}{2}(x_{np}+x_{np+1}),& 若np是整数,\end{array}$$

上述为$p$分位数和中位数的定义，下面有一个很重要的定理：
设总体密度函数为$p(x)，x_p$为其 $p$ 分位数， $p(x)$ 在$x_p$ 处连续且 $p(x_p)>0$ ，则当 $n\to \infty$ 时样本 $p$ 分位数 $m_p$ 的渐进分布为
$$m_p\dot{\sim }N(x_p,\frac{p(1-p)}{n\cdot p^2(x_p)})$$
特别，对样本中位数，当 $n\to \infty$ 时，近似地有
$$m_{0.5}\dot{\sim }N(x_{0.5},\frac{1}{4n\cdot p^2(x_{0.5})})$$

以上为分位数的一般性定义，其实也就是一组大小为$n$的数据中，第$np$大的数，以及它的渐进分布。

7、五数概括和箱线图

次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图，在得到有序样本后，容易计算如下五个数：最小观测值 $x_{min}=x_{(1)}$ ，最大观测值 $x_{max}=x_{(n)}$ ，中位数 $x_{0.5}$ ，第一4分位数 $Q_1=m_{0.25}$ 和第三4分位数 $Q_3=m_{0.75}$ ，所谓五数概括就是指用这五个数
$$x_{min},Q_1,m_{0.5},Q_3,x_{max}$$
五数概括的图形表示为箱线图，示例如下：

中间是一个箱子，上下界分别是$Q_3,Q_1$,箱子中的红线是$m_{0.5}$，箱子外虚线的上下界分别是$x_{max},m_{min}$

以上为上次博客的补充内容