信源编码的效率

信源编码器的 efficiency 为：

其中 H(A) 是信源的熵，L 是编码后的 average codeword length

将每个元素的概率和其编码后的码长相乘，可以得到 average codeword length，单位为 bits，示例如下

示例

首先，采用等长编码，即所有 symbol 的 code word 长度相同

这个信源的熵为：
$$0.5\ast log2(1/0.5)+0.3\ast log2(1/0.3)+0.15\ast log2(1/0.15)+0.05\ast log2(1/0.05)=1.6477bits$$

average codeword length 为
$$length(00)\ast 0.5+length(01)\ast 0.3+length(10)\ast 0.15+length(11)\ast 0.05$$
等于
$$2\ast 0.5+2\ast 0.3+2\ast 0.15+2\ast 0.05=2bits$$

coding efficiency 为
$$\frac{H(A)}{\bar{L}}=\frac{1.6477}{2}$$

示例2

接着，使用变长编码

此时，熵和示例一相同， average codeword length 变为
$$1\ast 0.5+2\ast 0.3+3\ast 0.15+3\ast 0.05=1.7bits$$

可以看到，变长编码的 efficiency 比等长的要高，因此，我们引申出了 Huffman 编码方式

Huffman 编码

这种编码方式的原理是，给大概率出现的元素尽可能短的编码，以此来改进编码效率

Prefix codes

Huffman code 要求每一个 symbol 对应的 code word 不能是任何其它 code word 的前缀，这种码也被称为 prefix code 或 instantaneous code

因其可以准确的被分为一个个 symbol 而不产生歧义，我们称其为 self-punctuating

进行 Huffman 编码

再次用示例二中的元素举例，假设有四个 symbol a0, a1, a2, a3，它们的概率分别为 0.5，0.3，0.15，0.05

第一步

将所有 symbol 按照他们的概率以递减排序

第二步

将底部的两个元素合并，标出他们合并后的概率

这样四个元素就被缩减为了三个，重复这个过程，直至所有 symbol 都被加在一起

第三步

最后，从右往左找回每一个 symbol，其路线对应的值就是这个 symbol 的 code word

可以看到，从 1.0 往左数，到 a0 只经过了 0
到 a1 经过了 1 0
到 a2 经过了 110
到 a3 经过了 111

最小方差哈夫曼编码

有时会出现 symbol 或合并后的 symbol 概率相同的情况，此时可以有多种编码方式
将 compound symbol 尽量放在序列靠上方的地方，此时得到的 Huffman code 方差最小

扩展哈夫曼编码

扩展编码是将所有 symbol 两两组合，并用他们的联合概率来进行哈夫曼编码

假设有{a, b, c}三个元素，概率分别为{0.1, 0.5, 0.4}
则共有九种组合，可以得到

Optimal code

Channon code

Channon first theorem