1.6 变换群与置换群
定义1.6.1：设
是非空集合，
的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为
的全变换群，记为
，
的一个子群称为
的一个变换群；当
为含有
个元素的有限集时，
也叫作
元对称群，记作
，
中的一个元素称为一个
元置换，
的一个子群称为一个
元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。这两对递进的概念的区别。下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设
是群，
，定义映射
，
，称为左平移变换。不难验证左平移变换是
的一个子群，且能与
可以建立同构。
关于对称群
而言，我们把它的
个元素用前
个自然数表示，则置换
可记作
，可以看出
对
个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2：。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合有
个元素，设
，
，有
，
，
，则称
为一个
轮换，或称
循环置换，记为
，
称为
的文字，
称为
的长；特别地，
轮换称为对换，
轮换称为恒等置换。
定义1.6.3：若中的若干个轮换没有共同文字，则称他们为不相交的轮换。
由此，下面的定理是容易得到的。
定理1.6.3：轮换的阶是
。
定理1.6.4：两个不相交轮换的乘积是可交换的。
接下来，我们证明一个能够一般性表示任何置换的定理。
定理1.6.5：，
都可表为
中一些不相交轮换之积。
证：我们设
，
，直到
，因为
是一个双射，因此序列
的前
项是不会重复的，由此，
构成了一个
轮换。在剩下的元素中，循环进行此操作，直到所有元素都包含在了轮换中；我们也就构造了一个不相交轮换的积。
例1.6.1：设
，我们遵循上述定理证明的思路对
进行分解。首先从
开始找，只有一个元素，第一个轮换是
，再从
找起，得轮换
，再从
找起，得
，从而
。
例1.6.2：对于任意对换，不难发现
，即任一个
轮换都可写成
个对换的乘积，根据定理1.6.5，任一置换都可以写成若干对换的乘积。对换的逆就是它本身，故通过这样的分解可以写出置换的逆。
进一步地，如果置换
被分解成
个不相交轮换的乘积，则可分解成
个对换的乘积。特别地，单位元
被分解成
个不相交轮换的乘积，故为
个对换的乘积。
例1.6.3：
。
下面研究对称群的结构。
定义1.6.4：当一个置换能表为奇数个对换的乘积时，称为奇置换；能表为偶数个对换的乘积时，称为偶置换。
定义1.6.5：元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群，称为
元交错群，记为
。
接下来由定义1.6.4可以导出：两个偶置换之积是偶置换，两个奇置换之积是偶置换，偶置换与奇置换之积是奇置换，奇置换与偶置换之积是奇置换．偶置换的逆置换是偶置换，奇置换的逆置换是奇置换。
参考上述性质，我们不难验证，
，并且奇置换全体构成的集合可以看作一个陪集，因此有以下结论：
定理1.6.7：，
。
例1.6.4：若置换群
中若有奇置换，则
中一定有指数为
的子群。
解：设
中全体偶置换构成的集合为
，因为偶置换的运算在
中封闭，从而在
中封闭，
是子群，由奇偶置换的性质，可以验证
是正规子群。令
是奇置换，
，定义陪集
，这两个集合的并也就包含了
，因此
就是指数为
的子群。
随后，我们系统地研究一些对称群和置换群，我们将对称群的单位元记作
，显然
，
，更高阶情况有所不同：
例1.6.5：当
时，
（定义见例1.3.2），进而
是非交换群。
解：显然
；设有
且
，
，设
，则
，于是
，因此
，与
矛盾，因而得证。
例1.6.6：
，
，
，且
。
解：由例1.6.5，
；
中的二阶元素有
，由例1.4.2，若
，双射
一定把二阶元素映成二阶元素，并且由例1.6.2，任何
的元素都可以写成这些二阶元素的乘积，因而确定了二阶元素的像也就确定了同构
，从而
，又
，因此
。
例1.6.7：设
，则
，且
与Klein群同构。
。
例1.6.8：
没有
阶子群。
解：设
是
阶子群，由例1.2.4，它是正规子群；因
有
个
阶元素，故
一定包含
阶元，设
是一个三阶元，
，由例1.6.3，上式可为任意三阶元，因此
包含所有三阶元，不可能是
阶。
1.7 单群与可解群
定义1.7.1： 如果群只有平凡的正规子群，则称
为单群。
单群可以看作结构简单的群，单群在群论中的作用很像素数在整数论中的作用，交换单群的判断是非常容易的。
定理1.7.1： 设为交换群，
，则
为单群
为素数阶循环群。
证：
由Lagrange定理直接可得。 下证
：取
，
，因
可交换，则
，又
是单群，故
，这表明
一定是循环群；下证
是有限阶循环群，如不然，
，有
，但
是一个正规子群，与单群定义矛盾。最后，若
不是素数阶，则它有
的因子阶的正规子群，得证。
非交换群的情况十分复杂，仅给出下面结论：
定理1.7.2：交错群，
时不是单群，
时是交换单群，
时是非交换单群。
时是循环群，必是单群，
时根据例1.6.7，
是正规子群，
的情况较为复杂，不给出证明。这个定理在后面的讨论中会多次用到，并且是Galois理论的基础。下面讨论可解群，首先给出导出群的概念。
定义1.7.2：设为群，
，称
是
与
的换位子，记作
；称
中所有换位子
的换位子群，也称为
的
次导出群（简称导出群），记为
或
；
称为
的
次导出群（简称为导出群）记为
；这样下去，
称为
的
次导出群；
定义为
。
要注意，所有换位子构成的集合未必是子群，导出群是他们生成的子群，即若干个换位子运算的结果的集合，并且发现
。
定理1.7.3：。
证：
；因为
中的元素可以写成若干个换位子运算的形式，所以
，满足正规子群的定义，得证。
这个定理说明了导出群一定在全体子群中，下面定义可解群：
定义1.7.3：设为群，
，满足
，则称
为可解群。
例1.7.1：若
是交换群，易得
，从而是可解群；特别地，循环群都是可解群。
定理1.7.4：可解群的子群都是可解群。
证：设
是可解群，
，则
，使
，则有
，
。
定理1.7.5：可解群的商群或同态象是可解群。
证：设
是可解群， 则
，使
，设有从
到
的同态
，首先
，其次，
，因此，
，因此，
；同态像是可解群；商群看作同态像，因而也是可解群。
定理1.7.6：设是群，
，
与
都是可解群，则
是可解群。
证：
，使得
，
。记
为从
到
的自然同态；仿照定理1.7.5，
，因而 ，
，于是，
。
下面我们研究一下对称群和交错群。
定理1.7.7：（1）当时，
，是可解群。（2）
，
也是可解群。（3）当
时，
不是可解群。
证：（1）当
时，
是循环群，由例1.7.1，
，是可解群。（2）
时，
，因而
是三阶循环群，也是可解群，由定理1.7.6可得
是可解群；此外，计算可得
，类似地，我们可以得到
，又因为
可解，因而
，且没有
阶子群，因而
，又因为
，自然
。（3）
时，由定理1.7.2，
是非交换单群，因此
，
，
，由定理1.7.3，
，由于
，故
，那么递推
，因此不是可解群。
定理1.7.8：；特别地，当
时，
。
证：由换位子的定义，换位子一定是偶置换，因此
，由于
，
；当
时，由于
，则有
。
定理1.7.9：当时，
是可解群；当
时，
不是可解群。
证：
时，
是循环群，因而是可解群；
时，
是可解群，且
，因而
是可解群；当
时，
，因而不是可解群。
例1.7.2：
；
。
解：
，
，因而
，再由定理1.7.8可得
。由定理1.7.8，易得
不是
就是
，与上面同理，我们可以找到不属于
的元素，因而
。
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