相机标定（一）单相机标定

1. 标靶平面与其图像平面的映射矩阵

角点的在世界坐标系下的坐标记为 $M=\left [ x,y,z \right ]^{T}$ ,齐次坐标为 $\widetilde{M}=\left [ x,y,z,1 \right ]^{T}$ ,角点的像素坐标（转化为齐次）为 $\widetilde{m}=\left [ u,v,1 \right ]^{T}$ ,针对小孔成像模型，空间点M与像素点m之间的射影关系为：

$s\widetilde{m}=A[R t]\widetilde{M}$ （1）

s为非零尺度因子，矩阵R和t为相机外部参数（相机坐标系和师姐坐标系之间的转换关系），A为相机内参。由于角点分布在2D平面上，则 $\widetilde{M}=\left [ x,y,z,1 \right ]^{T}=\left [ x,y,0,1 \right ]^{T}$ ，则公式（1）可以写为：

$s\left\left [ \begin{matrix} u\\ v\\ 1 \end{matrix} \right ]=A\left [ \begin{matrix} r_{1} & r_{2} &r_{3} & 1 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right ]=A\left [ \begin{matrix} r_{1} & r_{2} & 1 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ 1 \end{matrix} \right ]$ (2)

$s\widetilde{m}=H\widetilde{M}$ (3)

其中 $H=\lambda A\left [ \begin{matrix} r_{1} & r_{2} & t \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} h_{1} & h_{2}& h_{3} \end{matrix} \right ]$ H为单应性矩阵，单应性在计算机视觉领域是一个非常重要的概念，它在图像校正、图像拼接、相机位姿估计、视觉SLAM等领域有非常重要的作用。文章https://blog.csdn.net/lyhbkz/article/details/82254893关于单应性矩阵讲的比较详细。

由于角点在标定板上的坐标已知，且角点的像素坐标已知，可以很容易的解出公式（3）的方程。

2. 求解相机内参矩阵。

由于R具有正交性（ $r{_{1}}^{T}r_{2}=0,r{_{1}}^{T}r_{1}=r{_{2}}^{T}r_{2}$ ）,其中（ $r_{1} \right =(1/\lambda )A^{-1}h_{1}$ ， $r_{2} \right =(1/\lambda )A^{-1}h_{2}$ ），可得两个基本方程，