上一篇文章中，写过了关于两连杆机器鱼建模的方法。实际上，有一个细节值得注意，那就是在联立(1)和(2)方程，求解鱼头加速度，这一步中，是如何联立求解的。一般有两种方式：
(1) 假设当前加速度已知，因此，鱼尾的力可以根据(2)式求出，从而把求出的F代入到(1)式中去，求出VbV_bVb。这也是我们上一篇文章中，使用到的联立求解办法。
(2) 假设当前加速度未知，那么需要联立(1)和(2)式共同求解出VbV_bVb。这是我们这篇文章会着重介绍的，现在看不明白不要紧。
通过之后的仿真我们可以看到，这两种联立求解方式的不同，最终仿真的结果是类似的。但是，非常重要的一点，上一篇文章的求解方式在多连杆机器鱼中，极易造成计算结果发散，而本文介绍的求解方法的数值性能要稳定得多！！！
1 两连杆机器鱼的建模
本文延续上一篇文章的记号和公式，这里只是着重介绍计算
和 
的方式。
上一篇文章说到，对于鱼头的受力分析可以表达为：
对于鱼尾的受力分析则表达为：
另外，
和
与和
的关系为：
由于我们假设了，鱼头的加速度和未知，所以我们不能直接求出 F和 M，而是要联立(1)(2)(3)式求解和。求解过程如下：
由(2)和(3)得出 F和 M与和的关系 :
把上式简化记为:
其中:
再把(5)和(1)联立 :
记：
则有：
这样我们得到了最终的计算表达式(7)。
2 MATLAB代码实现
clc;
clear all;
close all;
% 物理参数
mb = 1.0;
Jb = 0.01;
% 物理参数
mt = 0.2;
Jt = 0.001;
r = 0.1;
% 关节运动
theta = 0;
dtheta = 0;
ddtheta = 0;
a = pi*2;
b = pi/4;
% 运动状态
Vb = zeros(3,1);
dVb = zeros(3,1);
Wb = zeros(3,1);
dWb = zeros(3,1);
Vt = zeros(3,1);
dVt = zeros(3,1);
Wt = zeros(3,1);
dWt = zeros(3,1);
Yaw = 0;
Pos = zeros(3,1);
% 阻力系数
CFb = 10*[0.1; 0.01; 0];
CMb = [0; 0; 1];
CFt = [0.1; 0.1; 0.1];
% 力
F = zeros(3,1);
M = zeros(3,1);
Flist = [];
Mlist = [];
% 其他辅助变量
e3 = [0;0;1];
time = [];
The = [];
Vel = [];
WVel = [];
Poslist = [];
ta = 0;
TA = [];
%% 主要仿真过程
for t = 0:0.01:40
% 关节运动规律
theta = b*cos(a*t);
dtheta = -a*b*sin(a*t);
ddtheta = -a*a*b*cos(a*t);
r_bt = r*[cos(theta);sin(theta);0];
% 速度
Wt = Wb + dtheta*e3;
Vt = Vb + cross(Wt,r_bt);
% 阻力
Fdb = -0.5*CFb.*[sign(Vb(1))*Vb(1)*Vb(1); sign(Vb(2))*Vb(2)*Vb(2); sign(Vb(3))*Vb(3)*Vb(3)];
Mdb = -0.5*CMb.*[sign(Wb(1))*Wb(1)*Wb(1); sign(Wb(2))*Wb(2)*Wb(2); sign(Wb(3))*Wb(3)*Wb(3)];
Fdt = -0.5*CFt.*[sign(Vt(1))*Vt(1)*Vt(1); sign(Vt(2))*Vt(2)*Vt(2); sign(Vt(3))*Vt(3)*Vt(3)];
% 计算力
F1 = mt*(cross(r_bt,ddtheta*e3)-cross(Wt,Vb)-cross(Wt,cross(Wt,r_bt)));
M1 = -Jt*ddtheta*e3 - cross(Wt, Jt*Wt) + cross(r_bt, F1);
K = [mb*cross(Wb,Vb) - F1 - Fdb;
cross(Wb, Jb*Wb) - M1 - Mdb];
% 计算H矩阵
r_bt_crossmat = zeros(3,3);
r_bt_crossmat(1,2) = -r_bt(3);
r_bt_crossmat(1,3) = r_bt(2);
r_bt_crossmat(2,1) = r_bt(3);
r_bt_crossmat(2,3) = -r_bt(1);
r_bt_crossmat(3,1) = -r_bt(2);
r_bt_crossmat(3,2) = r_bt(1);
H = [-(mt+mb)*eye(3), mt*r_bt_crossmat;
-mt*r_bt_crossmat, -(Jt+Jb)*eye(3)+mt*r_bt_crossmat*r_bt_crossmat];
Hinv = inv(H);
% 分析头部连杆
U = Hinv*K;
dVb = U(1:3);
dWb = U(4:6);
Vb = Vb + dVb*0.01;
Wb = Wb + dWb*0.01;
% 位置更新
Yaw = Yaw + Wb(3)*0.01;
R = [cos(Yaw), -sin(Yaw), 0;
sin(Yaw), cos(Yaw), 0;
0, 0, 1];
Vw = R*Vb;
Pos = Pos + Vw*0.01;
Poslist = [Poslist, Pos];
% 收集数据
time = [time, t];
Flist = [Flist, F];
Mlist = [Mlist, M];
Vel = [Vel, Vb];
WVel = [WVel, Wb];
ta = ta + F/mb*0.01;
TA = [TA, ta];
end
%% 绘图
figure(1)
subplot(3,2,1)
title('力');
hold on
plot(time, Flist(1,:),'r')
ylabel('X')
grid on
subplot(3,2,3)
plot(time, Flist(2,:),'g')
ylabel('Y')
grid on
subplot(3,2,5)
plot(time, Flist(3,:),'b')
ylabel('Z')
grid on
subplot(3,2,2)
title('力矩');
hold on
plot(time, Mlist(1,:),'r')
ylabel('X')
grid on
subplot(3,2,4)
plot(time, Mlist(2,:),'g')
ylabel('Y')
grid on
subplot(3,2,6)
plot(time, Mlist(3,:),'b')
ylabel('Z')
grid on
figure(2)
subplot(3,2,1)
title('速度');
hold on
plot(time, Vel(1,:),'r')
ylabel('X')
grid on
subplot(3,2,3)
plot(time, Vel(2,:),'g')
ylabel('Y')
grid on
subplot(3,2,5)
plot(time, Vel(3,:),'b')
ylabel('Z')
grid on
subplot(3,2,2)
title('角速度');
hold on
plot(time, WVel(1,:),'r')
ylabel('X')
grid on
subplot(3,2,4)
plot(time, WVel(2,:),'g')
ylabel('Y')
grid on
subplot(3,2,6)
plot(time, WVel(3,:),'b')
ylabel('Z')
grid on
figure(4)
plot(Poslist(1,:),Poslist(2,:))
grid on
axis equal
3 仿真结果
和上一篇文章中4.3部分的仿真结果对比，几乎是完全相同的，当然仿真参数也没有改动。