MIT 18.06 linear algebra 第二十二讲笔记

第二十二课课程笔记

• Diagonaliging a matrix $S^{-1}AS=\Lambda$
• Powers of A | equation $U_{k+1}=AU_k$

假设$A$有$n$个独立的特征向量,现在我们把它们作为列向量塞进矩阵$S$。$AS=A\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1x_1&\lambda_2x_2&\cdots&\lambda_nx_n\end{bmatrix}=$

$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}=S\Lambda$。
进而我们可以得出$S^{-1}AS=\Lambda$。这个过程称为矩阵的对角化。$A=S\Lambda S^{-1}$这是另一种矩阵分解的方式。对角阵即特征值沿对角线排列组成的矩阵。

如果$Ax=\lambda x$，那么$A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x$。$A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S\Lambda^2 S^{-1}$，继而$A^k=S\Lambda^k S^{-1}$。当然这些成立的前提条件就是矩阵$A$存在$n$个互相独立的特征值。如果不存在$n$个相互独立的特征向量，矩阵就不能对角化。

如果$A^k$趋近于0，由于其可以被拆解为$S\Lambda^k S^{-1}$,因此只有所有的$|\lambda_i|<1$才行。

如果矩阵$A$有$n$个不相同的特征值（无重复），那么$A$一定有$n$个相互独立的特征向量，因此矩阵可以被对角化。存在重复的特征值，不一定不能被对角化。它有可能存在$n$个相互独立的特征向量。

如果矩阵$A$就是对角阵，那么对其对角化有$A=\Lambda$。

如果有下等式$U_{k+1}=AU_k$。起始值为$U_0$, $U_1=AU_0$，这种方程称之为一阶差分方程。首先我们可以把起始值$U_0$写为$U_0=C_1x1+C_2x2+\cdots+C_nx_n$。又可以把$AU_0$写为$C_1\lambda x1+C_2\lambda x2+\cdots+C_n\lambda x_n$,进而有$A^kU_0=C_1\lambda^k x1+C_2\lambda^k x2+\cdots+C_n\lambda^k x_n$

再看一个关于斐波那契数列的例子：
0，1，1，2，3，5，8，13….，从第三项开始，每项的值等于前两项之和。我们用$F_1,F_2,F_3,\dots,F_n$来表示斐波那契数列的每一项。根据规律有$F_{k+2}=F_{k}+F_{k+1}$。这时候就要用到一个小技巧了。我们可以看到这个递推公式是二阶差分方程，我们最好想办法将其转换为一阶差分方程。

解：令$U_k=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_k \end{bmatrix}$。有$\begin{equation} \begin{cases}F_{k+2}=F_{k+1}+F_k\\F_{k+1}=F_{k+1}\end{cases} \end{equation}$，因而有$\begin{bmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_k \end{bmatrix}$

求解矩阵$\begin{bmatrix}1&1\\1&0 \end{bmatrix}$的特征值与特征向量，进而可以求得$\lambda=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。$\begin{bmatrix}1-\lambda&1\\1&-\lambda \end{bmatrix}x=0$,将$\begin{bmatrix}\lambda\\1\end{bmatrix}$就是特征向量，代入即可。