摘要: 要想写出无懈可击的定义, 就需要使用集合、元组、序列等术语.

1. 区域

在二维平面中, 区域可定义如下:
定义 1 (连通区域, Area): 二维平面中的连通区域为
$$\mathbf{A}\subseteq {\mathbb{R}}^2,$$
其中 $\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbf{A}$, 均存在一条曲线 $\mathbf{L}\subseteq \mathbf{A}$将它们相连.

注意: 如果实在需要, 还可以定义什么是曲线. 不过我觉得没必要.
对于地球而言, 可以认为 $\mathbf{A}\subseteq [-180,180{]}^2$, 其中东经和北纬对应于正数, 西经和南纬对应于负数 (我随便规定的).

也可以通过闭合曲线来定义.
定义 2 (边界, Boundary): 二维平面中的连通区域 $\mathbf{A}$ 的边界为 $B(\mathbf{A})\subseteq \mathbf{A}$, 它满足: $\forall (x,y)\in B(\mathbf{A}),\epsilon >0$, $\exists (x^{\prime },y^{\prime })\notin \mathbf{A}$, st. $d((x,y),(x^{\prime },y^{\prime }))<\delta$, 其中$d(\cdot ,\cdot )$ 表示欧氏距离.

注意: $B$ 只是一个函数名, 而且它是一个意义完全固定的函数.

一个地块中如果有水塘, 则该水塘并不是地块的一部分, 也就是出现了斑点. 这个地块仍然是连接区域, 查边界并不只有一条. 为了排除这种情况, 定义如下:
定义 3 (无斑区域, Spot-free area): 给定二维平面中的连通区域 $\mathbf{A}$, 如果 $B(\mathbf{A})$ 恰为一条闭合曲线, 则称 $\mathbf{A}$ 为无斑区域.

注意: 无斑区域这个名词是我瞎编的, 不知道专业的名词是啥.

2. 图斑

将地图图斑视作地表空间认知的最小单位, 则所有图斑组成的集合记为 $\mathbf{U}=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$, 其中 $n$ 是图斑的个数. 图斑 $x$ 的区域记为 $A(x)$. 通常要求图斑区域不重叠, 即 $\forall i\ne j$, $A(x_i)\cap A(x_j)=\varnothing$. 将区域属性函数 $A$ 扩展为对图斑集合有效, 即 $\forall \mathbf{X}\subseteq \mathbf{U}$,
$$A(\mathbf{X})={\cup }_{x\in X}A(x).\text{\hspace{1em}(1)}$$
为使得图斑集合 $\mathbf{X}$ 有地理意义, 需要满足区域约束, 即 $A(\mathbf{X})$ 应为一个无斑区域.

注意:

1. $x_1$ 这种表示仅是一种记号, 即对元素进行编号、枚举. 它本身是不具有任何类型的.
2. $\mathbf{U}$ 是一个非空有穷集. 但 $A(x)$ 是一个无穷集.
3. [吴] 你的 (1) 式中 $C_i$ 相当于这里的 $A(x_i)$, 但 (2) 式重新定义它为一个元组就比较奇怪了. (2) 式的 $U$ 也缺乏定义.

如果我们希望用数据挖掘的方式来定义地理信息系统数据集, 就可以把它看成一张二维表. 当然, 表中数据项并不一定是基本数据类型 (字符、整数、实数之类), 所以并不是标准的关系数据库中的数据表. 但可以看作是面向对象数据库中的数据表. 因此可以按信息表的方式来定义.

定义 4 (地理信息数据集 GIS dataset): 地理信息数据集是一个二元组
$$G=(\mathbf{U},\mathbf{A}),$$
其中 $\mathbf{U}$ 是图斑的集合, $\mathbf{A}$ 是定义在这些图斑上的属性 (函数) 集合.

常见的属性包括: 空间、时间、特征、事件.

• $A\in \mathbf{A}$ 是空间属性, 它指定了相应图斑的区域. 在实际数据中, 可能通过其有限个边界点链接而成. 这时, 它可以表示为一个序列 $⟨p_1,p_2,\dots ,p_k⟩$, 其中 $p_i=(x_i,y_i)$.
• $\mathbf{F}=\{f_1,f_2,\dots ,f_m\}$ 表示静态特征的集合. 它们不随时间的改变而改变.
• $\mathbf{T}=\{t_1,t_2,\dots ,t_T\}$ 表示时间节点的集合. 由于数据集合的离散性, 仅在这些时间节点上有观测值.
• $\mathbf{E}=\{e_1,e_2,\dots ,e_T\}$ 表示事件的集合.
  [吴] 单独的时间集合不一定有多大意义, 它应该附属于事件.

3. 空间粒

可以把区域内的图斑进行自顶向下的粒化.
给定区域的图斑全集 $\mathbf{U}=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$, 构建 $L$ 级划分如下:
$$\mathbf{U}=\bigcup _{i_1}{X}_{i_1}=\bigcup _{i_1,i_2}{X}_{i_1{i}_2}=\cdots =\bigcup _{i_1,i_2,\dots ,i_L}{X}_{i_1\dots i_L},$$
其中 $X_{i_1,\dots ,i_j}={\bigcup }_{i_{j+1}}{X}_{i_1\dots ,i_{j+1}}.$
例: $\mathbf{U}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9\}$.
$X_1=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$, $X_2=\{x_5,x_6,x_7,x_8,x_9\}.$
$X_{11}=\{x_1,x_2\}$, $X_{12}=\{x_3,x_4\}$, $X_{21}=\{x_5,x_6,x_7\}$, $X_{22}=\{x_8,x_9\}.$
$X_{111}=\{x_1\}$, $X_{112}=\{x_2\}$, $X_{121}=\{x_3\}$, $X_{122}=\{x_4\}$, $X_{211}=\{x_5\}$, $X_{212}=\{x_6\}$, $X_{213}=\{x_7\}$, $X_{221}=\{x_8\}$, $X_{222}=\{x_9\}$.

自顶向下的粒化一般是根据行政区域的划分, 按市、县、乡、村等级别进行.
向底向上的粒化一般利用数据的层次聚类完成.

4. 图斑的元组表示法

从元组的角度来思考问题, 与从面向对象的角度来思考是一致的. 如果一个类有 $k$ 个成员变量 (不管它是什么类型的), 它就可以定义为一个 $k$ 元组.
定义 5 (图斑 Image spot): 图斑是一个三元组
$$P=(\mathbf{A},\mathbf{F},\mathbf{E}),$$
其中

• $\mathbf{A}$ 为定义 1 所描述的区域;
• $\mathbf{F}=[f_1,f_2,\dots ,f_m]$ 为静态特征向量, 注意这里的 $f_i$ 是实际的值, 而不是定义 4 中的名字特征;
• $\mathbf{E}=[e_1,e_2,\dots ,e_s]$ 为时序的向量, $e_i=⟨e_{i1},e_{i2},\dots ,e_{iT}⟩$ 为第 $i$ 类事件对应的时序.

定义 6 (地理信息系统 GIS): 地理信息系统是一个图斑的集合
$$\mathbf{G}=\{P_i{\}}_{i=1}^n.$$

注意: 定义 6 与定义 5 的区别在于, $P_i$ 是实体, 已经把信息包含进去了.

未完待续