雅可比矩阵小结

(1)描述末端速度与关节速度的变换关系。

雅可比矩阵描述机器人末端线速度和角速度与关节速度的变换关系。计算雅可比矩阵的其中一种方法是从线速度和角速度出发，推导得到。

$$\begin{gathered} \dot{{\mathbf{p}}_e}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\mathbf{p}}_e}{\partial q_i}{\dot{q}}_i=\sum _{i=1}^n{\mathbf{J}}_{P_i}{q}_i \\ {\mathbf{w}}_e={\mathbf{w}}_n=\sum _{i=1}^n{\mathbf{J}}_{O_i}{\dot{q}}_i \end{gathered}$$
按照标准D-H建模，雅可比矩阵可以写成
$$J=\left[\begin{array}{c}{J}_P\\ J_O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{P1}& & J_{Pn}\\ & \cdots & \\ J_{O1}& & J_{On}\end{array}\right]$$
其中，

（2）奇异点分析

令雅可比矩阵不满秩的位形称为运动学奇异点。行列式等于0，不可逆，处于奇异位形。

通过雅可比矩阵行列式计算内部奇异点可能会很繁琐，而且对复杂结构不容易求解。对球形腕的机械手，有可能将奇点计算问题分解为两个问题（奇点解耦）。

• 前3个或更多连杆引起的臂奇点的计算。
• 腕关节运动引起的腕奇点的计算。

例如，考虑六关节机械臂，雅可比矩阵可分解为4块，每个分块为（$3\times 3$）矩阵：
$$\mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{J}}_{11}& {\mathbf{J}}_{12}\\ {\mathbf{J}}_{21}& {\mathbf{J}}_{22}\end{array}\right]$$
其中，因为外部的三个关节都是转动，右边两个分块的表达式为
$$\begin{gathered} {\mathbf{J}}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{z}}_3\times ({\mathbf{p}}_e-{\mathbf{p}}_3)& {\mathbf{z}}_4\times ({\mathbf{p}}_e-{\mathbf{p}}_4)& {\mathbf{z}}_5\times ({\mathbf{p}}_e-{\mathbf{p}}_5)\end{array}\right] \\ {\mathbf{J}}_{22}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{z}}_3& {\mathbf{z}}_4& {\mathbf{z}}_5\end{array}\right] \end{gathered}$$

运动学奇点是机械结构所固有的，与描述运动学的坐标系选择无关。因此，可以把末端执行器的原点选择在手腕的轴的交点上。选择$\mathbf{p}={\mathbf{p}}_w$，有
$${\mathbf{J}}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$$
全局雅可比就成为一个分块下三角矩阵。行列式计算为
$$\text{det}(\mathbf{J})=\text{det}({\mathbf{J}}_{11})\text{det}({\mathbf{J}}_{22})$$
从而条件
$$\text{det}({\mathbf{J}}_{11})=0$$
用于确定机械手奇点。

条件
$$\text{det}({\mathbf{J}}_{22})=0$$
用以确定腕关节奇点。

（3）冗余性分析

机械臂关节空间维数n大于任务维数为m，称为冗余机械臂。雅可比矩阵可以分析机械臂的冗余性，如果行数小于列数，则机械臂存在冗余性。

（4） 雅可比矩阵的逆

使用数值法求机械臂逆解接时，通常需要计算雅可比矩阵的逆或伪逆。

（5）末端执行器的力与关节力矩的映射

末端执行器的力与关节力矩的映射的关系可以由雅可比矩阵的的转置确定。令$\tau$表示$(n\times 1)$关节力矩向量，${\mathbf{f}}_e$表示$(r\times 1)$末端执行器力向量，其中r表示感兴趣的操作空间的维数。那么有
$$\tau ={\mathbf{J}}^T(\mathbf{q}){\mathbf{f}}_e$$
参考文献

布鲁诺・西西里安诺. 机器人学：建模、规划与控制[M]. 西安交通大学出版社, 2015.