高等数学笔记-苏德矿

第十章 曲线积分和曲面积分

第四节 第二类曲线积分

第二类曲线积分也称向量值函数的曲线积分。

一、第二类曲线积分的概念

01 解决问题前的基本概念

02 由问题引入积分的定义

问题：求一个质点 $M$ 在变力 $\vec{F}$ （设 $\vec{F}$ 的分量为连续）作用下，沿着有界**光滑**曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 点移动到 $B$ 点所做的功 $W$ 。

分析：微元法的前提：总功等于部分功之和。

由所做的功为 $W$，$W$ 分布在曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 上，$\forall ds\subset {\Gamma }_{AB}$，$ds$ 的弧长仍记为 $ds$ ，在这个弧段上所做的功 $\Delta W$ ，求出 $\Delta W$ 的等价量 $dW$ 。

把这个弧上的力看作恒力。$\forall P\subset ds$，看成在 $P$ 点的力 $\vec{F}(P)$ 。把有向弧看成有向的质线段（向量），大小为 $ds$ 。

取 $P$ 点在切线的单位向量 $\overrightarrow{F^0}(P)$ 。且与指定的方向（由 $A$ 到 $B$ ）一致。

有向弧看成一个向量 $d\vec{s}=\overrightarrow{T^0}ds=\overrightarrow{T^0}(P)ds$ 。$(\Delta W\approx )dW=\vec{F}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P)ds,P\in {\Gamma }_{AB}$ ，

$W={\int }_{{\Gamma }_{AB}}\vec{F}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P)ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}[\vec{F}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P)]ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{F}\cdot \overrightarrow{T^0})ds$ （特殊的第一类曲线积分）。

称为向量 $\vec{F}$ 沿着曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分。

03 给出第二类曲线积分的定义

设向量 $\vec{A}(P)$ 在有界光滑曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 上有定义，且有界（ $\vec{A}(P)$ 的分量是有界函数），

$\overrightarrow{T^0}(P)$ 表示曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 上点 $P$ 处的切线的单位向量且与指定的方向（由 $A$ 到 $B$ ）一致。

若第一类曲线积分 ${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds$ 存在，该积分的值称为向量 $\vec{A}(P)$ 沿曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分，又称向量值函数曲线积分。

二、第二类曲线积分的定理和性质

01 第二类曲线积分的意义

( 物理意义 ) 求一个质点在变力：求一个质点 $M$ 在变力 $\vec{F}$ （设 $\vec{F}$ 的分量为连续）作用下，

沿着有界光滑曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 点移动到 $B$ 点所做的功 $W$，$W={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{F}\cdot \overrightarrow{T^0})ds$ 。

02 第二类曲线积分的性质

积分如果把被积函数看成一个整体，它是第一类曲线，此时，具有第一类曲线积分的所有性质。

作为第二类曲线积分具有下面两个独特的性质：

性质1：${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds=-{\int }_{{\Gamma }_{BA}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds$

​ 与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分与曲线方向有关。

性质2：${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds={\int }_{{\Gamma }_{AC}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds+{\int }_{{\Gamma }_{CB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds$

注意两点：

(1) 两种曲线积分形式的不同。

(2) $Q=0或P=0$，$\underset{C}{\int }Pdx或\underset{C}{\int }Qdy$ 仍是第二类。

三、第二类曲线积分的分类与计算

分析的准备工作

$ds\cdot \cos \alpha =|PT|\cos \alpha =|PQ|=dx$，$ds=\sqrt{{\tan }^2\alpha +1}\cdot dx$

$\vec{a}=\{x_1,y_1,z_1\}$，$x_1=\vec{a}\cdot \vec{i}=|\vec{a}|\cos \alpha$，

$y_1=\vec{a}\cdot \vec{j}=|\vec{a}|\cos \beta$，$z_1=\vec{a}\cdot \vec{k}=|\vec{a}|\cos \gamma$

若空间曲线 $\Gamma$ 上点 $(x,y,z)$ 处，切线的单位向量 $\overrightarrow{T^0}=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}$ 与指定的方向一致。

$\overrightarrow{T_0}\cdot ds\stackrel{△}{=}d\vec{s}=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}=\{dx,dy,dz\}$

空间曲线第二类曲线积分的计算

一般形式：${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}\cdot \overrightarrow{T^0})ds$

若 ${\Gamma }_{AB}\subset {\mathrm{R}}^3$，$P(x,y,z)\in {\Gamma }_{AB}$，$\vec{T}$ 在空间曲线 $\Gamma$ 上点 $(x,y,z)$ 处，切线的单位向量 $\overrightarrow{T^0}$ 与指定的方向一致。

$\overrightarrow{T^0}=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}$ ，$\overrightarrow{T_0}\cdot ds\stackrel{△}{=}d\vec{s}=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}=\{dx,dy,dz\}$

$\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$
$$\begin{array}{rl}①& {\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}\cdot \overrightarrow{T^0})ds\\ ②& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}\vec{A}\cdot d\vec{s}\\ ③& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma )ds\\ & ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds\\ ④& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}[P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz]\\ & ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz(用得较多)\\ ⑤& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y,z)dx+{\int }_{{\Gamma }_{AB}}Q(x,y,z)dy+{\int }_{{\Gamma }_{AB}}R(x,y,z)dz\\ & (其实是由第③类一曲线积分性质得到的，二曲线积分不能直接用和的积分等于积分的和)\end{array}$$
如果直接计算二曲线积分，要化成哪一种？

如果直接计算第二类曲线积分，不管给哪一种形式都要化成第④种，把曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 表示为参数方程：

${\Gamma }_{AB}:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$ 找出起点 $A$ 对应的参数 $t_A$，找出终点 $B$ 对应的参数 $t_B$ 。
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz=\\ & {\int }_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)]dt\end{array}$$

平面曲线第二类曲线积分的计算

一般形式：${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}\cdot \overrightarrow{T^0})ds$

若 ${\Gamma }_{AB}\subset {\mathrm{R}}^2$，$P(x,y)\in {\Gamma }_{AB}$，$\vec{T}$ 在平面曲线 $\Gamma$ 上点 $(x,y)$ 处，切线的单位向量 $\overrightarrow{T^0}$ 与指定的方向一致。

$\overrightarrow{T^0}=\{\cos \alpha ,\cos \beta \}$ ，$\overrightarrow{T_0}\cdot ds\stackrel{△}{=}d\vec{s}=\{\cos \alpha ,\cos \beta \}=\{dx,dy\}$

$\vec{A}(x,y)=\{P(x,y),Q(x,y)\}$
$$\begin{array}{rl}①& {\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}\cdot \overrightarrow{T^0})ds\\ ②& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}\vec{A}\cdot d\vec{s}\\ ③& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(P(x,y)\cos \alpha +Q(x,y)\cos \beta )ds\\ & ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(P\cos \alpha +Q\cos \beta )ds\\ ④& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ & ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy(用得较多)\\ ⑤& ={\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y)dx+{\int }_{{\Gamma }_{AB}}Q(x,y)dy\end{array}$$
如果直接计算二曲线积分，要化成哪一种？

如果直接计算第二类曲线积分，不管给哪一种形式都要化成第④种，把曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 表示为参数方程：

${\Gamma }_{AB}:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$ 找出起点 $A$ 对应的参数 $t_A$，找出终点 $B$ 对应的参数 $t_B$ 。
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy={\int }_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt\end{array}$$
对于平面曲线 ${\Gamma }_{AB}$，在五种“平二曲线积分“的基础上，曲线的方程又有以下几种情况。

① ${\Gamma }_{AB}:y=\phi (x),x\in [a,b]$，( $x=x$ ) 特殊的参数方程

② ${\Gamma }_{AB}:y=a(常数)$， ( $x=x$ ) 特殊的参数方程

③ ${\Gamma }_{AB}:x=\psi (y),y\in [c,d],\psi ’(x)$ 连续 ( $y=y$ ) 特殊的参数方程

④ ${\Gamma }_{AB}:x=a(常数),y\in [c,d],\psi ’(x)$ 连续 ( $y=y$ ) 特殊的参数方程

⑤ ${\Gamma }_{AB}:r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ],r^{\prime }(\theta )$ 连续

​ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array}\theta \in [\alpha ,\beta ]$ ，$x^{\prime 2}(\theta )+y^{\prime 2}(\theta )=r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )$

⑥ ${\Gamma }_{AB}:\theta =\theta (r),r\in [a,b],{\theta }^{\prime }(r)$ 连续

​ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=r\cos \theta (r)\\ y=r\sin \theta (r)\end{array}r\in [a,b]$