前言

最近在看强化学习相关课程，自己也在一边学习中一边理解，想想写篇文章以后万一忘了可以回来在看着复习一下，在学习过程中推荐大家看的相关视频与文章如下：
【强化学习】马尔科夫决策过程【白板推导系列】
强化学习入门 第一讲 MDP

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在学习马尔科夫决策过程之前需要复习一下马尔科夫相关基础
1、马尔科夫性描述的是每个状态的性质。即定义系统的下一状态$S_{t+1}$与当前状态$S_t$有关，而与以前的状态无关
$P[S_{t+1}|S_t]=P[S_{t+1}|S_1,S_2,...,S_t]$
2、马尔科夫过程是一个二元组$(S,P)$，且满足：$S$是有限状态集合，$P$是状态转移概率。状态转移概率矩阵为：
$P=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& ...& P_{1N}& \\ .& .& .& \\ .& .& .& \\ P_{N1}& ...& P_{NN}& \end{array}\right]$
假若$S_t\in [S^{(1)},S^{(2)},S^{(3)},S^{(4)},S^{(5)}]$，且$S^{(i)}$均有概率$P_{ij}$进行状态转移，通过表格列出转移矩阵：

其中$P_{ij}$是$S^{(i)}$状态向$S^{(j)}$状态转移时的概率

一、定义

马尔科夫决策过程由元组$(S,A,P,R,\gamma )$描述，其中：
$S$：有限状态集
$A$：有限动作集
$P$：状态转移的概率(动态特性)
$R$：回报函数
$\gamma$：折扣因子，用来计算累计回报

二、MDP动态特性

马尔科夫动态特性是在马尔科夫链的基础上增加了$R$(reward space)与$A(s)$(action space)参量

马尔科夫决策过程是包含动作的，称为动态函数，也可以称为MDP的动态特性，即:
$P:p[s^{\prime },r|s,a]=P_r[S_{t+1}=s^{\prime },R_{t+1}=r|S_t=s,A_t=a]$
其中的$R_{t+1}=r$代表了处于状态$s$的决策$a$所提供的奖励值

由此可得状态转移函数$p[s^{\prime }|s,a]={\sum }_{r\in R}p[s^{\prime },r|a,s]$

三、MDP价值函数

马尔科夫决策过程最重要的关键是决策或策略(policy)，而策略是由一个个动作(action)构成，每一动作都有对应的状态(state)。

1、策略（policy）

1.1、确定性策略

假设当前状态为$s$，对应三种动作(action)：$a_1,a_2,a_3$，但是当我在进行决策时，只要处在当前状态$s$，我只选择动作$a_1$，那么此时制定策略已经与时间无关而与状态相关。

定义：$a=\pi (s)$
对于确定性策略，可以如此理解，将某一动作$a_i$的概率设置为1时对应的策略

1.2、随机性策略

假设当前状态为$s$，对应三种动作(action)：$a_1,a_2,a_3$，每当处在当前状态$s$时，三种动作都会有一定的概率实现，则此时制定策略与时间有关，且具有随机性，例如
策略1：

策略2：

这就是随机性策略，用$\pi (a|s)$来表示

定义：$\pi (a|s)=P_r[A_i=a|S_i=s]$

2、回报（reward）

为避免上下翻页造成阅读困难，继续以上图为例进行讲解
当我们要衡量一种策略是否为好时，我们需要引入一种回报(reward)机制。处于$S_t$时，对于每一个动作(action)，我们可以直观判断回报越大一定是越好的。但是我们选择了一种action时，它的reward是具有后效性/延迟性的，假如使用$A_t$时对应的回报为$R_{t+1}$，而后的下一次回报$R_{t+2}$不仅仅与其对应状态$S_{t+1}$所在的动作空间$A_{t+1}$有关，也与当前$S_t$状态下的$A_t$相关。
所以我们要寻求一种关系式可以将$S_t$状态时选择动作$A_t$对应后续的回报之和进行计算求解。
在此引出累计回报公式：
$G_t=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+\cdot \cdot \cdot ={\sum }_{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}$
$\gamma \in [0,1]$可以这样理解，随着时间的流失，回报值reward会随着时间而大打折扣，故称其为折扣因子（discount）。此时$G_t$理论上可作为判别策略优劣的依据。

3、价值函数（value function）

但是我们回过头来应该想想这么一个问题：

将上部分图中某一部分进行拆解出来进行详细讲解，此图称为回溯图。
假设当前状态为$S_t=s$，此时状态$S_t$有动作集合：
$A(s)=[a_1,a_2,a_3]$
且每个状态对应三种不同的状态，当转移到下一状态$S_{t+1}=s^{\prime }$时又有对应的状态集
$S_{t+1}=[s_1,s_2,s_3,\cdot \cdot \cdot ,s_8,s_9]$
我们需要将每个
$G_t=[G_t^1,G_t^2,\cdot \cdot \cdot ,G_t^9]$
进行计算，并进行概率（加权）平均，所以我们不能单纯的通过$G_t^i$对每一条策略进行评估。

在此引入 价值函数（value function） 的定义：
$v_{\pi }(s)=E_{\pi }[G_t|S_t=s]$
可以这样理解这个函数：在$\pi$策略下，$s$状态时回报的期望计算

3.1、状态动作函数

定义：$q_{\pi }(s,a)=E_{\pi }[G_t|S_t=s,A_t=a]$
此函数相较于$v_{\pi }(s)$多给定了动作参量，再以上面那张回溯图举例

给定$s,a$，可以写出三种状态动作函数：
$q_{\pi }(s,a_1),q_{\pi }(s,a1),q_{\pi }(s,a_3)$
此处$\pi$对$s$无约束，因为在$q_{\pi }(s,a)$中，$s,a$均为自变量，并无成对关系（映射），而在$v_{\pi }(s)$中存在映射关系，对所有状态都有关系。即：$v_{\pi }(s)$在进行下一步动作$a$的选择时，需要受到随机性策略$\pi (s|a)$的约束，例如：

只能选择一定概率的动作，而状态动作函数可不受约束进行期望计算。

3.2、推导过程

对于$\bigvee s\in S_t,v_{\pi }(s)$可以通过向量
$v_{\pi }(s)=[v_{\pi }(s_1),v_{\pi }(s_2),v_{\pi }(s_3),\cdot \cdot \cdot ,v_{\pi }(s_n)]$
表示，其大小为$|s|\ast 1$。
理论上说有多少个状态就有多少个$v_{\pi }(s)$
在回溯图中，若已经定义了三种状态动作函数：
$q_{\pi }(s,a_1),q_{\pi }(s,a1),q_{\pi }(s,a_3)$
对应其随机性策略也有三种：
$\pi (a_1|s),\pi (a_2|s),\pi (a_3|s)$
此时将状态动作函数与对应的随机性策略进行乘积并求和，可得价值函数公式：
$v_{\pi }(s)=\pi (a_1|s)\ast q_{\pi }(s,a_1)+\pi (a_2|s)\ast q_{\pi }(s,a_2)+$
$\pi (a_3|s)\ast q_{\pi }(s,a_3)$
$={\sum }_{k=0}^3\pi (a_k|s)\ast q_{\pi }(s,a_k)$
推广到无穷时可以表示为：
$v_{\pi }(s)={\sum }_{a\in A(s)}\pi (a|s)\ast q_{\pi }(s,a)$
其实质为$v_{\pi }(s)$是$q_{\pi }(s,a)$的加权平均值
由此可得最终价值函数可以表示为：
$$valuefunction:\{\begin{array}{rl}{v}_{\pi }(s)& =E_{\pi }[G_t|S_t=s]\\ q_{\pi }(s,a)& =E_{\pi }[G_t|S_t=s,A_t=a]\end{array}$$
而$v_{\pi }(s)\le max(q_{\pi }(s,a))$ ,当且只当平均值=最大值时等号成立

三、贝尔曼方程

1、贝尔曼期望方程

由于$q_{\pi }(s,a)$具有概率性的存在，与$G_t$类似，并不能直接用于策略价值计算，故仍需引用期望的概念实现策略价值评估

回到这张引入$q,v$的回溯图，对于上面所提到的马尔科夫决策过程的动态特性补充一种观点：

$P:p[s^{\prime },r|s,a]=P_r[S_{t+1}=s^{\prime },R_{t+1}=r|S_t=s,A_t=a]$
注意：此过程中，不仅仅是$s$具有动态随机性，当我们在反复走从状态$s$到状态$s_3$时的$R=r$的值是会改变的，它也有动态随机性，是从$(s,a)$到$(s^{\prime },r)$的过程，读者可将从$a_3\to s_3$过程中的回报值想象成为无数条线。这样就把回报的随机性$r$表示出来了

那么如何用$r,\gamma$表示这个动态过程呢。现在先将公式引出，再慢慢解释：
$q_{\pi }(s,a)={\sum }_{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast (r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime }))$
式中：$p(s^{\prime },r|s,a)$为动态特性概率，即走每条回报值的概率是多大
$r$为当选定走这条回报值的路径时，所给到的回报值
$\gamma v_{\pi }(s^{\prime })$为在状态$s^{\prime }$时所得到折扣后的价值

由此可以推出$v_{\pi }(s),v_{\pi }(s^{\prime })$之间的关系为：
$v_{\pi }(s)={\sum }_{a\in A(s)}\pi (a|s)\ast q_{\pi }(s,a)$
$={\sum }_{a\in A(s)}\pi (a|s)\ast {\sum }_{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast (r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime }))$
$q_{\pi }(s,a),q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })$之间的关系为：
$q_{\pi }(s,a)={\sum }_{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast (r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime }))$
$={\sum }_{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast [r+\gamma {\sum }_{a\in A(s)}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })\ast q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })]$
补充：$a^{\prime }$为$S_{t+1}$时的对应动作集的某一动作

贝尔曼期望方程：
$$\{\begin{array}{rl}{v}_{\pi }(s)& =\sum _{a\in A(s)}\pi (a|s)\ast \sum _{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast (r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime }))\\ q_{\pi }(s,a)& =\sum _{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast [r+\gamma \sum _{a\in A(s)}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })\ast q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })]\end{array}$$

2、贝尔曼最优方程

引出贝尔曼最优方程，需要引出最优价值函数：

$$\{\begin{array}{r}{v}_{\ast }(s)=ma{x}_{\pi }(v_{\pi }(s))\\ q_{\ast }(s,a)=ma{x}_{\pi }(q_{\pi }(s,a))\end{array}$$
由最优价值函数$v_{\ast }(s)=ma{x}_{\pi }(v_{\pi }(s))$可知当找到最优策略$\pi$时，价值函数也会得到最优值。同理状态动作函数也会找到最优值。
在一般情况下，最优策略可能不止一个，此处我们仅假设只有一个最优策略。即:

${\pi }_{\ast }=argma{x}_{\pi }(v_{\pi }(s))=argma{x}_{\pi }(q_{\pi }(s,a))$
$v_{\ast }(s)=ma{x}_{\pi }(v_{\pi }(s))=v_{{\pi }_{\ast }}(s)$
$q_{\ast }(s,a)=ma{x}_{\pi }(q_{\pi }(s,a))=q_{{\pi }_{\ast }}(s,a)$

此时不要忘了上一章末尾曾经写过的一个公式：
$v_{\pi }(s)\le ma{x}_a(q_{\pi }(s,a))$
当策略为最优策略时有：
$v_{\ast }(s)=max(q_{\ast }(s,a))$
$q_{\ast }(s,a)={\sum }_{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast [r+\gamma v_{\ast }(s^{\prime })]$
此处取最优策略时，代表了此时平均值$v_{\pi }(s)$与最大值$ma{x}_a(q_{\pi }(s,a))$相等
证明过程可看b站视频，此处不再赘述。
当已知最优价值函数时，根据贝尔曼期望方程可以推出贝尔曼最优方程为：
$$\{\begin{array}{r}{v}_{\ast }(s)=ma{x}_a(\sum _{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast [r+\gamma v_{\ast }(s^{\prime })])\\ q_{\ast }(s,a)=(\sum _{r,s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)\ast [r+\gamma ma{x}_{a^{\prime }}(q_{\ast }(s^{\prime },a^{\prime }))]\end{array}$$

错误之处请海涵、指导 谢谢！