Matlab中使用LMI toolboxLMI

(1)使用环境：matlab 2014a 。LMI工具包不用安装，可以直接使用。

(2)LMI toolbox: Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式。

(3)如何定义一个LMI系统：

1.初始化一个 LMI 系统

setlmis([])        注意这只是定义一个LMI系统，并不是定义了一个 LMI不等式。LMI不等式需要用newlmi函数定义。

如果想把一个之前定义好的LMI系统LMIS0引入进来
setlmis(LMIS0)
2.定义LMI变量
X = lmivar(1,[6 1]);
S = lmivar(1,[2 0;2 1]);
上面的函数定义了两个矩阵型LMI矩阵变量 X 和 S
lmivar() 函数说明： 
	第一个参数表示矩阵的类型，可以是1,2,3  
		1：对称块对角结构	
			X3 = lmivar(1,[5 1;1 0;2 0]);  % Type 1
			
		2：矩形结构
			如lmivar(2,[3 5])表示大小为3*5的普通矩阵
		3：一般结构
			为了有助于描述这一类型的矩阵变量，lmivar提供了两个额外的输出，它的一般表达式是：[X,n,sX]=lmivar(type,struct)
			其中n和sX是提供的两个额外输出n表示到目前为止使用的决策变量的总数，sX表明了变量X中的每一个元依赖于决策变量的哪个元。
				例：定义，其中X1和X2分别是2*3维和3*2维的长方矩阵
		(第三种结构可以用来表示矩阵型中间变量，例如上面的X变量依赖于矩阵变量X1和X2。可以用下面的代码表示这个中间变量)
					
%定义X1和X2
setlmis([])
[X1,n,sX1] = lmivar(2,[2 3]);
[X2,n,sX2] = lmivar(2,[3 2]);
%定义第三类型矩阵X
[X,n,sX] = lmivar(3,[sX1,zeros(2);zeros(3),sX2]);

		注意：用第三种方法表示变量时，被表示变量只能用 已声明变量的正一倍或负一倍或转置或0矩阵表示。
		（each entry of X is specified independently as either 0, xn, or –xn where xn denotes the n-th decision variable in the problem.）

		例子说明：
setlmis([])
[R,~,SR]=lmivar(1,[3 1]);
[P,~,SP]=lmivar(1,[3 1]);
A=[2,0,0;0,2,0;0,0,2];
[ph1,~,Sph1]=lmivar(3,A*SR);%错误的，不会报错，但这样得到的解ph1不会等于 A*变量R 
[ph2,~,Sph2]=lmivar(3,2*SR);%也是错误的，不会报错，但这样得到的解ph2不会等于变量R的二倍 


[ph3,~,Sph3]=lmivar(3,-SR);%正确的，解出的ph3会等于-R
[ph4,~,Sph4]=lmivar(3,SR');%正确的，解出的ph4会等于变量R的转置


					
	第二组变量（[]内的内容）： 描述矩阵中的块矩阵的结构
		以X为例：第一个参数数表示块矩阵的大小 6*6的块矩阵
			 第二个参数表示块矩阵的形式，可以是1,0，-1
				1：全对称块
				0：标量矩阵：即单位矩阵乘以常数
				-1:0矩阵
                以S为例：[] 中用;隔开的有两组数据，表示S的对角线上有两个矩阵块
			         （S的例子）
3.定义LMI不等式中的每一个项（lmiterm）  
线性矩阵不等式（LMI）中的项：
	 以这个LMI不等式为例，其中的项(lmiterm)有ATX + XA, CTSC, XB, and –S

定义lmiterm:
	lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');     %定义了ATX + XA                
	lmiterm([1 1 1 2],C',C);	%定义了CTSC
	lmiterm([1 1 2 1],1,B);		%定义了XB
	lmiterm([1 2 2 2],-1,1);	%定义了–S

lmiterm()函数说明：
	第一个参数是一个四维向量：
		向量中的第一个参数：
			表示这个项属于哪个不等式，正数表示该项在不等式的左边，负数表示在不等式的右边。
		向量中的第二个和第三个参数：
			表示该项属于矩阵中的哪个矩阵块
		向量中的第四个参数：
			表示该项中包含哪个LMI变量（可以参考2.定义LMI变量）
			K表示包含第K个LMI变量（也就是第K个被定义的LMI变量，如2中X是第一个LMI变量，S是第二个LMI变量）
			-K表示包含第K个LMI变量的转置
			0表示单位矩阵I
		例如上面第一个lmiterm:lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');     %定义了ATX + XA        
			    中的[1 1 1 1]表示该项在第一个不等式的左边矩阵的 （1,1）处的矩阵块中，包含第一个LMI变量（X）
	第二个参数和第三个参数：
		表示该项中矩阵变量两边乘上的系数：
			可以是常量值，也可以将矩阵作为系数。
			    
		例如 lmiterm([1 1 1 2],C',C);	%定义了CTSC     第二个和第三个参数表示矩阵变量(S)左乘矩阵C的转置，右乘矩阵C
	额外参数：	lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');     %定义了ATX + XA        
			     中多了一个额外参数，'s'表示symmetry，即加上本项的转置。 
			     lmiterm([1 1 1 1],1,A);表示XA      lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');表示该项加上自身的转置，所以该项为ATX + XA 

	     在lmiterm函数中直接使用名称：
			    四维向量中第一个参数如果是数字K则表示第K个LMI不等式，也可以直接用不等式的名称代替。
			      		   例如：Xpos = newlmi;     lmiterm([-Xpos 1 1 X],1,1);    表示定义了一个新LMI不等式，这次定义的项在Xpos不等式的右边部分。
			    四维向量第四个参数如果是常数K，表示该项中含有第K个被定义的LMI变量。也可以直接用变量的名称作为这个参数。
					   例如：lmiterm([-Slmi 1 1 S],1,1);    表示该项中包含的LMI变量是S

4.得到问题的内部表示
当LMI系统完全定义完成之后，即lmivar（变量）,lmiterm（项）,lmi（项）都定义完毕。使用下面的命令行结束定义。该命令行只能使用一次。
		LMISYS = getlmis;


(4)LMI系统求解
对于LMI Lab， 其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：
	feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)
	mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
	gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda
	1.利用feas得到LMI的解
		lmis = getlmis;
		[tmin, feas] = feasp(lmis)    %该式中的feas就是求得的解
	2.运行后，就调用dec2mat把决策变量转化为矩阵形式。
		Q = dec2mat(lmis, feas, Q)
		Q =
    			1.9253   -2.2338
   			-2.2338    9.1054
LMI toolbox的更详尽的使用可以参考以下连接：
http://read.pudn.com/downloads104/ebook/428541/LMI%20%E5%B7%A5%E5%85%B7%E7%AE%B1%E4%BB%8B%E7%BB%8D.pdf
matlab官网的相关资料：
https://cn.mathworks.com/help/robust/ug/specify-lmi-system-at-the-command-line.html
https://cn.mathworks.com/help/robust/lmis.html