我们已经见证了，投影空间可以从欧几里得空间在无限处加上线或者面来或者。我们现在可以考虑其逆过程。这个讨论主要在二维和三维投影空间中。
仿射几何学
我们持有这样一个观点：投影空间的初始都是同质性的，没有独特的坐标框架是更被依赖的。在这样一个空间中，没有平行线的概念，因为平行线是在无穷远处会相交的线。然而，在投影空间中，没有在无穷处的点的概念，因为所有的点都是平等产生的。我们可以说平行不是投影几何学中的概念。讨论这个是没有意义的。
为了使这样一个概念有意义，我们需要挑选一些独特的线，并且决定这是在无穷处的线。这导致了一种情况–尽管所有的点都是平等产生的，其他的点更加平等。因此，从一个空白的页开始，设想他延展到无穷，并且形成一个投影空间。我们所看到的仅仅是这个空间中的一部分，更像是欧几里得平面中的一小部分。现在，请允许我们在纸上画一条直线，并且宣称这个线是在无穷处的，接下来，我们画两条相交在这个重要线上的线，因为他们会在线的无穷处遇到，我们定义他们为平行。这种情况和一个空无穷远处的平面的人的情况比较类似。试想一个在非常平坦的平原上拍的照片，在平面上的无穷处的点会在照片的地平线上出现，图片上的点在地平线上明显的不与世界的平面相关。然而，如果我们延展相机后面的的相关的射线，他将在相机后面的一个点处相交。因此，在图像中的点和真实世界中的点是一个一对一的关系。在世界版图中，无限处的点和真是图像中地平线的线是相关的，并且，世界中的平行线和他的图像是从投影平面看的一个其他视角，加上一个特殊的线。投影平面的几何形状和这个重要的线被称之为仿射几何，并且任何映射重要的线从一个空间到另一个重要的线的其他空间的投影变换称之为仿射变换。
通过定义一个特别的线在无穷处，我们可以在平面上定义平行的直线。然而，某些其他的概念也是有意义的，我们很快就可以定义平行。例如，我们可以定义两点间的间隔是一样的。例如，如果A，B，C，D是点，并且线AB和CD是平行的，那么如果AC和BD也是平行的，我们就是可以定义AB和CD是相等长度的。同样的，如果他们存在另一个和他们相等的平行线，在同一个线上的两个间隔也是相等的。
欧几里得几何学
通过在一个投影平面区分一条特别的线，我们获得了平行的概念和仿射几何学。仿射几何学被视为投影几何学的特殊化，其意为我们挑选处一个特殊的线，并且称其为在五穷处的线。
接下来，我们转向欧几里得几何学，并且通过挑选出一些独特的线或者面在无穷远处的特征，仿射几何学变成了欧几里得几何学。在这里，我们介绍了本书的最重要的一个盖面，absolute conic。
我们开始思考二维的几何学，并且从圆形开始。意识到圆并不是一个仿射几何学的概念，因为任意延展保留在无穷远处的线的平面，将会把一个圆变成一个椭圆形。所以仿射几何学不能识别圆形和椭圆形。
然而在欧几里得几何学，他们是可以区分的，并且有非常大的差异。代数上讲，一个椭圆可以被形容为一个二阶方程。因此，两个圆也相交于四个点。然而，很明显，两个不同德圆不能