题干
思路（本题纯考察逻辑思维能力）
设 n nn 是 k − g o o d k-goodk−good ，则 n = ∑ c = 0 k − 1 ( a c k + c ) n=\sum_{c=0}^{k-1}(a_ck+c)n=∑c=0k−1(ack+c)，其中：n ≥ 2 n\ge2n≥2，k ≥ 2 k\ge2k≥2，a c ≥ 0 , a 0 ≠ 0 a_c\ge0,a_0\neq0ac≥0,a0=0 . 问是否 k kk 有整数解.
先对原式化简：n = 0 + 1 + 2 + . . . . + k − 1 + k ∑ a c = k ( k − 1 ) 2 + k T ( T ≥ 1 ) n=0+1+2+....+k-1+k\sum a_c=\frac{k(k-1)}{2}+kT \quad(T\ge 1)n=0+1+2+....+k−1+k∑ac=2k(k−1)+kT(T≥1)
继续化简，观察：k ( k − 1 + 2 T ) = 2 n ( T ≥ 1 ) k(k-1+2T)=2n\quad(T\ge 1)k(k−1+2T)=2n(T≥1)
可得：k kk 与 k − 1 + 2 T k-1+2Tk−1+2T 奇偶性不同，且 k < ( k − 1 + 2 T ) k <(k-1+2T)k<(k−1+2T) 恒成立
进一步：设 t e t_ete 为两者中的偶数，t o t_oto为奇数
设:
t e = f 0 2 q ( q ≥ 1 , f 0 ≡ 1 ( m o d 2 ) ) t_e=f_02^q\quad(q\ge1,f_0\equiv1(mod 2))te=f02q(q≥1,f0≡1(mod2))
2 n = f 1 2 p ( p ≥ 1 , f 1 ≡ 1 ( m o d 2 ) ) 2n=f_12^p\quad(p\ge1,f_1\equiv1(mod 2))2n=f12p(p≥1,f1≡1(mod2))
很明显 p = = q p==qp==q，则 f 0 < f 1 f_0<f_1f0<f1，因为 t o > 1 t_o>1to>1
所以可得：
当 f 1 = 1 f_1=1f1=1 时 不存在
当 f 1 > 1 f_1>1f1>1 时:
若 2 p > f 1 2^p>f_12p>f1 ，则说明 t e > t o t_e>t_ote>to ,则 k = t o = f 1 k=t_o=f_1k=to=f1
若 2 p < f 1 2^p<f_12p<f1 ，则说明 t e < t o t_e<t_ote<to ,则 k = t e = 2 p k=t_e=2^pk=te=2p
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#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#define mez(x) memset(x,0,sizeof x)
#define mei(x) memset(x,0x3f,sizeof x)
#define lowbit(x) -x&x
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x7fffffff
#define cu(x) cout<<x<<"--"<<endl
#define ex exit(0)
#define pn puts("")
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> vc;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
int main()
{
ll t,x;
scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld",&x);
int nums=1;
while(x%2==0) ++nums,x/=2;
ll temp=pow(2,nums);
if(temp>x)
{
if(x!=1) printf("%lld\n",x);
else printf("%d\n",-1);
}
else
printf("%lld\n",temp);
}
return 0;
}