Gamma分布和逆Gamma分布

Gamma分布

If $n$ is a positive integer,
$$\Gamma (n)=(n-1)!$$
The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. For complex numbers with a positive real part, it is defined via a convergent improper integral:
（伽马函数是为除非正整数之外的所有复数定义的。 对于具有正实部的复数，它通过收敛的不正确积分来定义：）
$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$$

Gamma function

参数

参数$\alpha$，成为形状参数（shape parameter)，决定了分布曲线的形状，也就是$\alpha$不同，分布曲线形状不同
参数$\beta$成为尺度参数（scale parameter），在其他参数一定时，$\beta$不同，分布曲线的形状相似，但是高低、胖瘦不同，或者说是同一形状按照比例放大或缩小

图形

Probability density function

Cumulative distribution function

parameters

Inv-Gamma分布

在通常情况下，同一物理量的多次测量数据都看成服从正态分布
$$\mathbb{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$
而当正态分布总体的均值$\mu$已知时，其样本方差${\sigma }^2$服从逆Gamma分布
$$IG({\sigma }^2;\alpha ,\beta )$$
其中$\alpha$，$\beta$为待求参数。由于逆Gamma分布具有共轭性，在使用Bayes统计决策方法时，其先验和后验分布密度具有相同的分布密度函数形式$IG({\sigma }^2;\alpha ,\beta )$，因其使用方便，应用较广，尤其在测量数据的精度（方差）评估中使用的更加频繁。

图形

Probability density function

Cumulative distribution function

parameters

Gamma分布与逆Gamma分布

若随机变量$XGa(\alpha ,\lambda )$， 则 $\frac{1}{X}IG(\alpha ,\lambda )$

图像python代码 ¹

Gamma 分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as st
fig=plt.figure(figsize=(18,6))#确定绘图区域尺寸
ax1=fig.add_subplot(1,2,1)#将绘图区域分成左右两块
ax2=fig.add_subplot(1,2,2)
x=np.arange(0.01,15,0.01)#生成数列

z1=st.gamma.pdf(x,0.9,scale=2)#gamma(0.9,2)密度函数对应值
z2=st.gamma.pdf(x,1,scale=2)
z3=st.gamma.pdf(x,2,scale=2)
ax1.plot(x,z1,label="a<1")
ax1.plot(x,z2,label="a=1")
ax1.plot(x,z3,label="a>1")
ax1.legend(loc='best')
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('p(x)')
ax1.set_title("Gamma Distribution lamda=2")

y1=st.gamma.pdf(x,1.5,scale=2)#gamma(1.5,2)密度函数对应值
y2=st.gamma.pdf(x,2,scale=2)
y3=st.gamma.pdf(x,2.5,scale=2)
y4=st.gamma.pdf(x,3,scale=2)
ax2.plot(x,y1,label="a=1.5")
ax2.plot(x,y2,label="a=2")
ax2.plot(x,y3,label="a=2.5")
ax2.plot(x,y4,label="a=3")
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('p(x)')
ax2.set_title("Gamma Distribution lamda=2")
ax2.legend(loc="best")

plt.show()

逆Gamma分布

from scipy.stats import invgamma
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
a=[4,5,6]
for i in a:
    mean, var, skew, kurt = invgamma.stats(i,scale=2,moments='mvsk')
    x = np.linspace(invgamma.ppf(0.01,i,scale=2),invgamma.ppf(0.99,i,scale=2), 100)#invgamma.ppf
    ax.plot(x, invgamma.pdf(x,i,scale=2,), label="a="+str(i))
    ax.legend(loc="best")
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('p(x)')
ax.set_title("Invgamma Distribution lamda=2")
plt.show()