1.迭代法

• 步骤

  • 不断将递推方程的右部替代左部
  • 直到出现初值
  • 将初值带入，进行化简
  • 用数学归纳法进行验证
• 备注：迭代法也可以进行换元后进行如例三

• 例子

  • 汉诺塔问题
    • T(n)=2T(n-1)+1
    • T(1)=1

    • T(n) = 2 T(n-1) + 1

      = 2[2T(n-2) + 1] + 1

      = 2^2 T(n-2) + 2 + 1

      ......

      = 2^(n-1)T(1) + 2^(n-2)+2^(n-3)+...+2+1

      =2^(n-1) + 2^(n-1)-1= 2^n-1

      T(1)=1, 2^(n-2)+2^(n-3)+...+2+1等比数列

    • 数学归纳法验证：
      • 第一步：n=1:T(0)=0,T(1)=1
      • 第二步：假设n时，T(n)=2^n-1成立
      • 第三步：带入n+1

      • T(n+1)=2T(n)+1

        =(2^n-1)*2+1

        =2^(n+1)-2+1

        =2^(n+1)-1 

  • 插入排序
    • W(n)=W(n-1)+n-1
    • W(1)=0

    • W(n)=W(n-1) + n-1

      =[W(n-2) + n-2] + n-1

      = W(n-2) + n-2 + n-1

      ......
      = W(1) + 1 +2 + ...+(n-2) + (n-1)

      =1 +2 + ... +(n-2) +(n-1)

      = m(n-1)/2

      1 +2 + ... +(n-2) +(n-1)等差数列化简即可

  • 二分排序
    • W(n)=2W(n/2)+n-1
    • W(1)=0
    • 换元为：

      • W(2^k) = 2W(2^(k-1)) + 2^k-1

      • W(0) = 0

      • W(n)= 2W(2^(k-1))+ 2^k -1

        = 2[2W (2^(k-2))+ 2^(k-1) -1]+ 2^k -1

        = 2^2W(2^(k-2))+2^k -2+2^k -1

        = 2^2[2W(2^(k-3))+ 2^(k-2) -1]+ 2^k -2+2^k-1

        ......
        = 2^kW(1)+ k2^k -(2^(k-1) + 2^(k-2) + ...+ 2+1)

        = k2^k -2^k +1
        =nlogn-n+1

        (2^(k-1) + 2^(k-2) + ...+ 2+1)等比数列

        nlogn-n+1换元换回来