二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，卷积公式容易，积分区间难以确定，所以分成上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布？

二。公式

$F_{z}(z)=P(Z\leqslant z)=\int \int_{g(x,y)\leqslant z} f(x,y)dxdy$

特殊类型：Z=X+Y，怎样确定Z的分布？如何求Z的概率密度？
$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy$

当X与Y相互独立时，
就得到所谓的${\color{Red} {卷积公式}}$
$f_{z}(z)=f_{x}*f_{y}=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$
这就是所谓的卷积积分

三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的概率密度$f_{z}(z)$及概率分布 $F_{z}(z)$？

根据理解或者根据上面的公式，我们知道 $f_{z}(z)$是将f(x,y)求一次积分，$F_{z}(z)$是求二次积分，难点问题在于${\color{Red} {如何确定积分区间？需要分成几个区间？}}$

对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，得到$f_{z}(z)$
表示成

$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$

，那么我们要画出一个 x–z的坐标，确定积分区间

1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, $a\leqslant x\leqslant b$
那么积分的左右边界就是a到b
2）根据关系式
z=x+y， 由于坐标系是x–z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：$z_{min}=x+y_{min}$
z的最大值：$z_{max}=x+y_{max}$
积分的上下边界就是 $z_{min}$到 $z_{max}$

因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：
$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$

所以按照x积分，积分区间就要分成三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间

1)${\color{Red} {红色区间}}$，
$X_{min}+Y_{min} \leqslant z<X_{min}+Y_{max}$
x积分区间= a 到 Z-Ymin
$\int_{a}^{z-y_{min}}dx$

2)${\color{Blue} {蓝色区间}}$，
$X_{min}+Y_{max} \leqslant z<X_{max}+Y_{min}$
x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
$\int_{z-y_{max}}^{z-y_{min}}dx$

3)${\color{Green} {绿色区间}}$，
$X_{max}+Y_{min} \leqslant z<X_{max}+Y_{max}$

x积分区间= Z-Ymax 到 1
$\int_{z-y_{max}}^{b}dx$

当x的a,b左右对称时，中间蓝色区间没有，只有两个积分区间：
${\color{Red} {红色区间}}$和 ${\color{Green} {绿色区间}}$

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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为

$$f(x,y)= \begin{cases} & \text{ } e^{-y}, 0\leqslant x\leqslant 1, y\geqslant 0, \\ & \text{ } 0, others \end{cases}$$
(1)问X,Y是否独立？
(2)求Z=2X+Y的密度函数 $f_{z}(z)$和分布函数 $F_{z}(z)$
(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 问X,Y是否独立？
X,Y独立的条件 $f(x,y)=f_{x}(x)*f_{y}(y)$
$f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)dy$
$f_{X}(x)=\int_{0 }^{\infty}e^{-y}dy=-e^{-y}|^\infty_{0}=e^{-y}|^0_{\infty}=1$

$f_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)dx$
$f_{Y}(y)=\int_{0 }^{\infty}e^{-y}dx= \int_{0 }^{1}e^{-y}dx=e^{-y}*(x)|^1_{0}=e^{-y}$
所以 $f(x,y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)$

(2)求Z=2X+Y的密度函数$f_{z}(z)$和分布函数$F_{z}(z)$

(2.1)先求密度函数$f_{z}(z)$

Z=g(X,Y)=2X+Y

求$f_{z}(z)$可以利用卷积公式
$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx$

画一个 x-z 的坐标系

Z方向下限：
$Z_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{min}$= 2X+0

Z方向上限：
$Z_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{max} = 2X+\infty =\infty$

所以，对公式 $f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx$

当 $0\leqslant z < 2 : 0\leqslant x < \frac{z}{2}$
$f_{Z}(z)=\int_{0}^{\frac{z}{2}}f(x,z-x)dx = \int_{0}^{\frac{z}{2}} e^{-(z-2x)}dx$
$\int_{0}^{\frac{z}{2}}e^{2x-z}dx (设t=2x-z, dt=2dx)$
=$\frac{1}{2} e^{2x-z}|_0^\frac{z}{2}$
=$\frac{1}{2}(1-e^{-z})$

当 $2\leqslant z < \infty : 0\leqslant x \leqslant 1$
$f_{Z}(z)=\int_{0}^{1}f(x,z-x)dx = \int_{0}^{1} e^{-(z-2x)}dx$
$\int_{0}^{1}e^{2x-z}dx (设t=2x-z, dt=2dx)$
=$\frac{1}{2} e^{2x-z}|_0^1$
=$\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}$

所以

$$f_{Z}(z)= \begin{cases} & \text{ } 0,z<0, \\ & \text{ } \frac{1}{2}(1-e^{-z}), 0\leqslant z\leqslant 2, \\ & \text{ } \frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}, z> 2 \end{cases}$$

(2.2) 求分布函数$F_{z}(z)$

由分布函数$F_{z}(z)$的定义可以知道，就是对z再积分
$F_{z}(z)$与相应的概率密度函数$f_{Z}(z)$的积分区间的关系是怎样呢？
概率密度函数$f_{Z}(z)$是对横坐标x积分，分布函数$F_{z}(z)$是对纵坐标z进行积分。通过z进行分区段，$F_{z}(z)$与$f_{z}(z)$是一样的，但是$F_{z}(z)$是把$f_{z}(z)$再次对z求积分，z的上下限的取值与z的分段不完全一样。

${\color{Red} {对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z}}$

$F_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Z}(z)dz$
根据$f_{Z}(z)$的分段，分段再积分
所以，
z<0 时，F_{Z}(z)=0
当 $0\leqslant z < 2$: z的积分区间：${\color{Red} {下限固定，下限是0，上限活动，上限是z}}$，所以就是 在$0\leqslant z < z$
$F_{Z}(z)=\int_{0}^{z}f_{Z}(z)dz = \int_{0}^{z} \frac{1}{2}(1-e^{-z})dz$
=$\frac{1}{2}(z+e^{-z})|_{0}^{z}=\frac{1}{2}(z-1+e^{-z})$

当 $2\leqslant z < \infty$: 注意分布函数与密度函数的区别，分布函数是对z的累加，${\color{Red} {要把前面的所有区间全部累加起来 }}$
当 $2\leqslant z < \infty$：z的积分区间为前面一段区间： 0到2，再加上当前区间，${\color{Red} {下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z}}$

$F_{Z}(z)=\int_{0}^{2}f_{Z}(z)dz + \int_{2}^{z}f_{Z}(z)dz=$
$={\color{Red} {\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(1-e^{-z}) dz}}+ \int_{2}^{z}\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}dz$
$=1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z}$

所以

$$F_{Z}(z)= \begin{cases} & \text{ } 0, z<0 \\ & \text{ } \frac{1}{2}(z-1+e^{-z}),0\leqslant z<2 \\ & \text{ } 1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z}, z\geqslant 2 \end{cases}$$

(3)求P{Z>3}

求P(f(Z))总是跟分布函数$F_{Z}(z)$联系在一起的。根据概率分布函数的定义 $F_{Z}(z)$指的是从$-\infty$到当前z的累加，运算值和查表值都只是 $-\infty$到某个当前z值得积分，即，积分的结果表示的是 $P(Z\leqslant z)$的值

所以
$P(Z>3)=1-P(Z\leqslant 3)=1-F_{Z}(z)(z=3)$

根据上面的积分结果
$F_{Z}(3) = ( 1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z})|_{z=3}$

$P(Z>3) =1-(1+\frac{1}{2}(1-e^2))e^{-3}$
$= \frac{1}{2}(e^2-1)e^{-3} \approx 0.1591$

参考书目：

张天德，叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章