线性空间定义

设 $V$是一个非空集合， $P$是一个数域，在集合 $V$上定义了加法 $\alpha + \beta$和数量乘法 $k \alpha$。
若加法和数量乘法满足下列规则，则称 $V$为数域 $P$上的线性空间。

封闭性

1. $\alpha + \beta \in V, \forall \alpha, \beta \in V$
2. $k \alpha \in V, \forall k \in P, \alpha \in V$

加法规则

1. $\alpha + \beta = \beta + \alpha, \forall \alpha, \beta \in V$
2. $(\alpha + \beta ) + \gamma = \beta + ( \alpha + \gamma ), \forall \alpha, \beta, \gamma \in V$
3. 对于任意一个 $\alpha \in V,$存在 $\vec {0} \in V,$使得 $\alpha + \vec {0} = \alpha$。
4. 对于任意一个 $\alpha \in V,$存在 $\beta \in V,$使得 $\alpha + \beta = \vec {0}$。

数量乘法规则

1. $1 \alpha = \alpha, \forall \alpha \in V$（注： $1 \in P$）
2. $k (l \alpha) = (kl) \alpha, \forall k, l \in P, \alpha \in V$

分配律

1. $(k + l ) \alpha = k \alpha + l \alpha, \forall k, l \in P, \alpha \in V$
2. $k ( \alpha + \beta) = k \alpha + k \beta, \forall k \in P, \alpha, \beta \in V$

线性空间的元素也叫向量。

线性空间的性质

1. 零元素是唯一的。
   证明：$\vec {0_1} = \vec {0_1} + \vec {0_2} = \vec {0_2} + \vec {0_1} = \vec {0_2}$
2. 负元素是唯一的。
   证明：若 $\beta + \alpha = \vec {0}, \beta + \gamma = \vec {0},$则
   $\alpha = \alpha + \vec {0} = \alpha + ( \beta + \gamma )$
   $= ( \alpha + \beta ) + \gamma = ( \beta + \alpha ) + \gamma$
   $= \vec {0} + \gamma = \gamma + \vec {0} = \gamma$
   向量 $\alpha$的负元素记为 $- \alpha$。
3. $0 \alpha = \vec {0}, k \vec {0} = \vec {0}, (-1) \alpha = - \alpha, (-k) \alpha = - k \alpha$。
   证明：
   3.1 $\alpha = 1 \alpha = (1 + 0 ) \alpha = 1 \alpha + 0 \alpha = \alpha + 0 \alpha$
   因此 $\vec {0} = - \alpha + \alpha = -\alpha + ( \alpha + 0 \alpha)$
   $= ( -\alpha + \alpha ) + 0 \alpha = \vec {0} + 0 \alpha = 0 \alpha + \vec {0} = 0 \alpha$
   3.2 $k \vec {0} = k (0 \alpha) = (k 0) \alpha = 0 \alpha = \vec {0}$
   3.3 $\vec {0} = 0 \alpha = [1 + (-1)] \alpha = 1 \alpha + (-1) \alpha = \alpha + (-1) \alpha$
   因此 $(-1) \alpha = - \alpha$
   3.4 $\vec {0} = 0 \alpha = [k + (-k)] \alpha = k \alpha + (-k) \alpha$
   因此 $(-k) \alpha = - k \alpha$
4. 如果 $k \alpha = \vec {0},$则 $k = 0$或 $\alpha = \vec {0}$。
   证明：若 $k \neq 0$则 $k ^ {-1} (k \alpha) = (k ^ {-1} k) \alpha = 1 \alpha = \alpha,$
   又 $k ^ {-1} (k \alpha) = k ^ {-1} \vec {0} = \vec {0},$
   因此 $\alpha = \vec {0}$。

线性子空间

对于数域 $P$上的线性空间 $V$的一个非空子集 $W,$
若 $W$对于 $V$的加法和乘法也构成数域 $P$上的线性空间，
则称 $W$为 $V$的一个线性子空间。

定理

如果线性空间 $V$的一个非空子集 $W$对于 $V$的加法和乘法是封闭的，则$W$就是 $V$的一个子空间。