抽象代数学习笔记（10） 群的同构

历史上，不同的文明发明了他们自己的计数方法。比如 $\{一,二,三...\},\{one,two,three...\}$等等。但是在数学上，我们认为这些计数方法本质是一样的，只是符号不同。或者说这些计数方法之间可以通过某种方式对应起来，当我们说计数方法$A$的一个符号$a$，就可以对应到计数方法$B$的一个符号$b$。于是，就有了同构的概念。

设 $(G,+)$是个群，$(H,\#)$也是个群，如果 $f:G->H$是个双射，且对任意 $a,b\in G$，恒有

$$f(a+b)=f(a)\#f(b)$$
则说 $f$是 $G$到 $H$的同构映射，如果有 $G$到 $H$的同构映射，就说 $(G,+),(H,\#)$同构。有时简单地说 $G$和 $H$同构，或 $G$同构于 $H$。

举个简单的例子：全体整数在加法下构成的群 $G$与全体偶数在加法下构成的群 $H$同构。显然， $f(x)=2x$。

同构有一些重要的性质在以后会经常遇到，另外，有一些典型的同构映射将会是解决问题的利器。

• $f(e_G)=e_H$
• $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$
• 任意 $n$阶循环群同构于 $(I_n,+)$
• 任意无限循环群同构于整数加法群 $(I,+)$
• $(G,+),(H,\#)$同构，若 $G$是循环群，那么 $H$也是循环群。
• 设 $A$是有 $n$个元素集合， $G$是 $A$上所有可逆映射在映射合成下构成的群，则 $G$同构于 $S_n$。

从上面的性质可以看出，研究一些形式比较复杂的群，完全可以用一个与之同构的，形式简单的群代替，这也是为什么会在之前学习循环群等代数结构的原因。当然，我们接触的群的例子比较少，深入代数领域后，还会学习不少具有代表性的群。