前言

这几天，无论是做题还是听课都听到了很多积分之类的东西
但是我才高一，学校并没有学到这里
于是一直挂机，十分难受
于是把学校的积分内容学了一下
在这里记录一下，也算是一次复习巩固吧
当然啦，我现在的理解非常浅显，可能有很多不够深入的地方，大家可以指出

电子书

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没学过的建议两个一起使用

正文

由于我不知道那个三角形一样的符号怎么打，我下文就写成x’了，也就是x’是趋近于0的，望见谅

什么是导数

导数大概就是某个点的变化量，也就是在$x$点的瞬时变化率
比如说给你一个函数$f(x)$
那么在x这个点的导数就是$\frac{f(x+x')-f(x)}{x'}$
不如说电子书那里就有一个例子
跳水的那个
仔细用心感受一下

符号表示

$f(x)$的导数表示为$f'(x)$

导数的几何意义

在$f(x)$在$x$的导数就是说x的一条切线
这个切线和初中学的圆的切线是不一样的
初中的那一个要求有且只有一个交点
而这个并没有这个要求
他的意义是一个函数
你在$x$的旁边找一个无限接近的$x'$，然后你把这两个$x$在函数上的点连起来，就是这个点的切线了
这个用心感受一下就好了

怎么样的函数有导数

当然是连续不断的函数

怎么求导数

我暂时只会一个方法，就是按照定义来求
举一个例子吧
比如说，你要求$f(x)=x^2$的导数
那么你可以得到式子$f'(x)=\frac{f(x+x')-f(x)}{x'}$
代入可得$f'(x)=\frac{(x+x')^2-x^2}{x'}$
展开$f'(x)=\frac{2xx'+(x')^2}{x'}$
化简一下可以得到$f'(x)=2x+x'$
由于x’是无限小趋近于$0$的，所以后面那个可以忽略掉
所以得到$f'(x)=2x$
无限这个概念也要用心感受一下，大雾）

举一个难一点点的例子
比如你要求$f(x)=a^x$的导数
根据定义可得$f'(x)=\frac{a^x(a^{x'}-1)}{x'}$
换元，设$t=a^{x'}-1$
那么可以得到

$$f'(x)=\frac{a^xt}{log_a{(t+1)}}$$
把 $t$除下去可以得到
$$f'(x)=\frac{a^x}{log_a{(t+1)^{\frac{1}{t}}}}$$
根据e的定义
$e=(1+\frac{1}{n})^n$
n趋近于无穷大
可以得到 $a^x$的导数就是 $a^{x}lna$

然后剩下的大家都可以用类似的方法自己推导了
一些初等函数的导数可以背下来，方便做题

一个细节

有些函数是全部的x都是同一个导数的，但有一些不是
现在学习的初等函数大部分都是前者

导数的一个简单应用

比如说求一个函数的最值吧
我们可以先求出这个函数的所有极值点，然后一一验证
忘记说了，极值的定义是两边都比他小或者都比他大，最值是整个函数的最大值或者最小值
怎么求除一个函数的所有极值点呢？
我们知道，一个函数的极值点$x$，在他的导数$f'(x)=0$
这个用心感受一下就好了QAQ
同时，如果$f'(x)<0$，那么就是在这个范围是递减的
反之，大于$0$就是递增的
通过这个，一个函数的单调性和最值问题就迎刃而解了

考虑求一个曲形的面积

我们考虑，一个曲形不怎么好求啊
于是我们可以用一贯的赖皮方法就是分割
我们吧他分割成很多块东西，那么最后最后相加，就可以近似地表示出来这个面积了
举一个例子吧
我们如果要求函数$f(x)=x^2$在$[0,1]$的面积
我们假设把他分成n份
每一份，我们近似地认为他是一个矩形，底自然就是$\frac{1}{n}$，高就是可以视为这一份里面任意一个$x$对应的$y$都可以，我在这里就视为$f(\frac{i}{n})$就好了
那么我们可以得到式子

$$S=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\frac{i^2}{n}$$
可以得到， $$S=\frac{(1+n)n}{2n^2}=\frac{1}{2}\frac{n^2+n}{n^2}$$
于是得到 $$S=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})$$
我们n分得越大，值自然也就越精确
当我们的n趋近于无穷的时候， $\frac{1}{n}$也就几乎是0，也就可以忽略了
于是可以得到这一个面积是 $1/2$

$定积分的定义
我们就把上面的这个求面积的方法叫做定积分
也就是这个式子

$$S=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})$$

积分的符号

$$\int_{1}^{2}f(x)dx$$ 表示的就是 $f(x)$这个函数在 $[1,2]$这个范围的积分
其中，上面的 $1$,$2$还有 $x$,$f$都是可以替换的

定积分的一些十分简单的性质

由于证明过于显然，我就不证了。。

微积分基本定理

我们发现，如果我们用定积分的定义来求除一个曲线的面积
实在是太慢了。。
于是我们考虑找出一个更快的方法
由于我们之前发现了导数
数学家们就可以探究积分和导数之间的关系
这个说的特别帮，我就不再赘述了

于是我们就得到了微积分基本定理

其中，$F(x)$是如果我们把$f(x)$看做是一个导数，那么$F(x)$就是他的原函数