题目:给定一个n*m的矩阵,矩阵中元素非负,从左上角到右下角找一条路径,使得路径上元素之和最小,每次只能向右或者向下走一个方格。如下图所示:最短路径是图中绿色部分的元素。
方法一(转换为图中的最短路径):我们可以把矩阵中的每个方格当做图中的一个顶点,相邻的方格之间有一条边,每个方格最多有两条出边,(当前方格到右侧方格有一条出边,当前方格到下侧方格有一条出边)。我们把矩阵中的最短路径转换为图中的最短路径,使用Dijstra算法来做此题,我们再次使用最简单的Dijstra算法,没有进行优化。图中总共有n*m个点,因为每一次都需要找到一个最小值,找最小值得代价为o(n*m),总共需要找o(n*m)个最小值,所以时间复杂度为o(n*n*m*m)。方法二(动态规划):时间复杂为o(n*m)和空间复杂度为o(n*m)。典型的动态规划问题,假设当前已经开始计算s[i][j],那么s[i][j]只可能从s[i-1][j]+grid[i][j]或者s[i][j-1]+grid[i][j]计算得到,也就是s[i][j] = min(s[i-1][j],s[i][j-1])+grid[i][j]。我们需要一个o(n*m)额外空间保存已经计算的s[i][j]的值,我们只需要访问一遍数组即可。因此时间复杂度为o(n*m),空间复杂度为o(n*m)。我们需要特殊处理矩阵中第一行和第一列。因为第一行没有s[i-1][j]元素,只有s[i][j-1]元素。第一列没有s[i][j-1]元素,只有s[i-1][j]元素。代码如下:struct Node { int val; int row; int col; Node(){} Node(int v, int r, int c) :val(v), row(r), col(c) {} friend bool operator<(const Node &lhs, const Node &rhs); }; bool operator<(const Node &lhs, const Node &rhs) { return lhs.val > rhs.val; } struct Vertex { int dis; bool visited; Vertex(){} Vertex(int d, bool v) :dis(d), visited(v){} }; class Solution { public: Node findMinVal(vector<vector<Vertex>> ve) { Node res = Node(INT_MAX, 0, 0); for (int i = 0; i < ve.size(); ++i) { for (int j = 0; j < ve[0].size(); ++j) { if (!ve[i][j].visited && res.val > ve[i][j].dis) { res.col = j; res.row = i; res.val = ve[i][j].dis; } } } return res; } int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { int sum = 0; int rows = grid.size(); int cols = grid[0].size(); vector<vector<Vertex>> ve; ve.resize(rows); for (int i = 0; i < rows; ++i) { ve[i].resize(cols); for (int j = 0; j < cols; ++j) { ve[i][j] = Vertex(INT_MAX, false); } } ve[0][0].dis = grid[0][0]; while (true) { Node res = findMinVal(ve); int row = res.row; int col = res.col; sum = res.val; if (row == rows - 1 && col == cols - 1) break; ve[row][col].visited = true; if (row + 1 < rows && sum + grid[row + 1][col] < ve[row + 1][col].dis) { ve[row + 1][col].dis = sum + grid[row + 1][col]; } if (col + 1 < cols && sum + grid[row][col + 1] < ve[row][col + 1].dis) { ve[row][col + 1].dis = sum + grid[row][col + 1]; } } return sum; } };
方法三(动态规划):时间复杂度为o(n*m),空间复杂度为o(m),此方法需要2*m额外空间。当我们求s[i][j]时,s[i-2]行的元素我们就不再需要,我们只需要s[i-1]行中的元素,我们把s[i-1]行中的元素保存在pre数组中,数组的大小为m。我们把s[i]保存在cur数组中,当s[i]行的元素计算完毕以后,我们交换pre和cur数组。因为需要pre数组和cur数组,且数组的大小都为m,所以我们需要2*m大小的额外空间。int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { //当grid为空时,返回0 if (grid.empty()) return 0; //获取grid的行数和列数 int rows = grid.size(); int cols = grid[0].size(); //额外数组data,大小和grid一样 vector<vector<int>> data(rows,vector<int>(cols,grid[0][0])); //处理data第一列 for (int i = 1; i < rows; ++i) { data[i][0] = data[i - 1][0] + grid[i][0]; } //处理data第一行 for (int i = 1; i < cols; ++i) { data[0][i] = data[0][i - 1] + grid[0][i]; } //处理data非第一行和第一列的元素 for (int i = 1; i < rows; ++i) { for (int j = 1; j < cols; ++j) { data[i][j] = min(data[i][j - 1], data[i - 1][j]) + grid[i][j]; } } //返回最短路径值 return data[rows - 1][cols - 1]; }
方法四(动态规划):时间复杂度为o(n*m),空间复杂度为o(m),需要m大小的额外空间,注意此方法和方法三的区别,方法三需要2*m大小的额外空间,此方法只需要m大小的额外空间,在方法三中我们保存当前行s[i]中的元素,假设我们当前计算s[i][j],我们只需要知道s[i][j-1]的值即可,不需要保存s[i]行中的元素。每次计算s[i][j]时,我们需要更新pre[j]的值。int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { //当grid为空时,返回0 if (grid.empty()) return 0; //获得grid行数和列数 int rows = grid.size(); int cols = grid[0].size(); //保存s[i-1]行中的元素 vector<int> pre(cols, grid[0][0]); //保存当前行的元素 vector<int> cur(cols); //初始化pre for (int i = 1; i < cols; ++i) { pre[i] = pre[i - 1] + grid[0][i]; } //获得s[i][j] for (int i = 1; i < rows; ++i) { cur[0] = grid[i][0] + pre[0]; for (int j = 1; j < cols; ++j) { cur[j] = min(cur[j - 1], pre[j]) + grid[i][j]; } swap(cur, pre); } return pre[cols - 1]; }
方法五:上述四种方法都不要改变原矩阵中元素的值,当我们面试的时候,可以问一下面试官是否可以改变原矩阵中的元素,如果可以改变原矩阵中的值,我们可以再次提高一下空间效率,时间复杂度为o(n*m),空间复杂度为o(1)。每次计算s[i][j]时,我们把grid[i][j]更新为此值,因为再之后的访问过程中不需要再次访问grid[i][j]。int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { //当grid为空时,返回0 if (grid.empty()) return 0; //获得grid行数和列数 int rows = grid.size(); int cols = grid[0].size(); //保存s[i-1]行中的元素 vector<int> pre(cols, grid[0][0]); //保存s[i][j-1]中的元素 int cur = grid[0][0]; //初始化pre for (int i = 1; i < cols; ++i) { pre[i] = pre[i - 1] + grid[0][i]; } //获得s[i][j]的最小值 for (int i = 1; i < rows; ++i) { cur = grid[i][0] + pre[0]; pre[0] = cur; for (int j = 1; j < cols; ++j) { cur = min(cur, pre[j]) + grid[i][j]; pre[j] = cur; } } return pre[cols - 1]; }
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty()) return 0; int rows = grid.size(); int cols = grid[0].size(); for (int i = 1; i < cols; ++i) { grid[0][i] = grid[0][i - 1] + grid[0][i]; } for (int i = 1; i < rows; ++i) { grid[i][0] = grid[i - 1][0] + grid[i][0]; } for (int i = 0; i < rows; ++i) { for (int j = 0; j < cols; ++j) { grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]; } } return grid[rows - 1][cols - 1]; }
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