线性代数（3）- 线性映射第一讲
线性映射
一个满足以下性质的函数T : V → W T:V \rightarrow WT:V→W被称为一个线性映射（Linear Map）或线性变换（Linear Transform）
- Additivity: ∀ u , v ∈ V , T ( u + v ) = T u + T v \forall u,v \in V,T(u+v)=Tu+Tv∀u,v∈V,T(u+v)=Tu+Tv
- Homogeneity: ∀ λ ∈ F , ∀ u ∈ V , T ( λ u ) = λ ( T u ) \forall \lambda \in F, \forall u \in V,T(\lambda u)=\lambda (Tu)∀λ∈F,∀u∈V,T(λu)=λ(Tu)
- (函数后面只有一个符号的自变量时，省略括号）
所有线性映射T : V → W T:V \rightarrow WT:V→W组成的集合记为L ( V , W ) L(V,W)L(V,W)
0 00被定义为，如果0 ∈ L ( V , W ) , ∀ v ∈ V , 0 v = 0 0\in L(V,W),\forall v \in V,0v=00∈L(V,W),∀v∈V,0v=0，左零是一个零映射，右零是向量空间W的零向量
I II被定义为单位映射（Identity Map），如果I ∈ L ( V , V ) , ∀ v ∈ V , I v = v I\in L(V,V),\forall v \in V,Iv=vI∈L(V,V),∀v∈V,Iv=v
一些线性映射的例子包括微分映射和积分映射，映射前后所属的向量空间可以是函数空间
一些关于线性映射的推论
向量空间V VV中的一个基v 1 , … , v n v_1,\dots,v_nv1,…,vn，另一些向量空间W WW内的向量w 1 , … , w n ∈ W w_1,\dots,w_n \in Ww1,…,wn∈W，则只存在唯一的（Unique）线性映射T : V → W T:V \rightarrow WT:V→W使得T v j = w j , j = 1 , … , n Tv_j=w_j,j=1,\dots,nTvj=wj,j=1,…,n
线性映射的运算
如果两个线性映射S , T ∈ L ( V , W ) S,T\in L(V,W)S,T∈L(V,W)，且有λ ∈ F \lambda \in Fλ∈F则加法和数乘的结果仍然是V → W V\rightarrow WV→W上的线性映射 ∀ v ∈ V , ( S + T ) ( v ) = S v + T v , ( λ T ) ( v ) = λ ( T v ) \forall v \in V, (S+T)(v)=Sv+Tv,(\lambda T)(v)=\lambda(Tv)∀v∈V,(S+T)(v)=Sv+Tv,(λT)(v)=λ(Tv) ，注意区分和线性映射的定义
如果两个线性映射S ∈ L ( U , V ) , T ∈ L ( V , W ) S\in L(U,V), T\in L(V,W)S∈L(U,V),T∈L(V,W)，乘法（Product）的结果是U → W U\rightarrow WU→W上的线性映射 ∀ v ∈ V , ( S T ) ( v ) = S ( T v ) \forall v \in V, (ST)(v)=S(Tv)∀v∈V,(ST)(v)=S(Tv)
以下是一些推论
L ( V , W ) L(V,W)L(V,W)是一个向量空间
加法满足交换律和结合律，乘法满足结合律，它们满足分配律
线性映射T TT总是T(0)=0
T ∈ L ( V , W ) , v 1 , … , v m ∈ V T\in L(V,W),\ v_1,\dots,v_m\in VT∈L(V,W), v1,…,vm∈V
T v 1 , … , T v m Tv_1,\dots,Tv_mTv1,…,Tvm线性独立⟹ v 1 , … , v m \implies v_1,\dots,v_m⟹v1,…,vm线性独立
零空间
对于线性映射T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，T TT的零空间（Null Space）是V VV的子集，有n u l l T = { v ∈ V ∣ T v = 0 } null\ T=\lbrace v\in V \mid Tv=0 \rbracenull T={v∈V∣Tv=0}
可推出，T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，零空间N u l l T Null \ TNull T是向量空间V VV的一个子空间
T ∈ L ( V , W ) , v 1 , … , v m ∈ V T\in L(V,W),\ v_1,\dots,v_m\in VT∈L(V,W), v1,…,vm∈V
v 1 , … , v m ∉ n u l l T v_1,\dots,v_m \notin null \ Tv1,…,vm∈/null T且线性独立⟹ T v 1 , … , T v m \implies Tv_1,\dots,Tv_m⟹Tv1,…,Tvm线性独立
一一映射
一个函数T : V → W T:V \rightarrow WT:V→W称为一一映射（Injective）当且仅当T u = T v ⟹ u = v Tu=Tv \implies u=vTu=Tv⟹u=v
可推出，T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，则T TT是一一映射的充要条件是n u l l T = { 0 } null \ T=\lbrace 0 \rbracenull T={0}
值域
对于线性映射T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，T TT的值域（Range）是W WW的子集，有r a n g e T = { T v ∣ v ∈ V } range\ T=\lbrace Tv \mid v \in V \rbracerange T={Tv∣v∈V}
可推出，T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，r a n g e T range \ Trange T是向量空间W的一个子空间
满射
一个函数T : V → W T:V \rightarrow WT:V→W称为满射（surjective）当且仅当r a n g e T = W range \ T = Wrange T=W
线性映射的一些推论
有限维度的向量空间V VV，线性映射T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W)T∈L(V,W)，则T TT的值域是有限维度的，且有d i m V = d i m n u l l T + d i m r a n g e T dim \ V=dim \ null \ T+dim \ range \ Tdim V=dim null T+dim range T
d i m V > d i m W ⟹ ∀ T ∈ L ( V , W ) , T i s n o t i n j e c t i v e dim \ V>dim \ W \implies \forall T \in L(V,W),T \ is \ not \ injectivedim V>dim W⟹∀T∈L(V,W),T is not injective
d i m V < d i m W ⟹ ∀ T ∈ L ( V , W ) , T i s n o t s u r j e c t i v e dim \ V<dim \ W \implies \forall T \in L(V,W),T \ is \ not\ surjectivedim V<dim W⟹∀T∈L(V,W),T is not surjective
对于一个齐次线性方程组，如果变量数多于方程数，则存在非零解
对于一个非齐次线性方程组，如果方程数多于变量数，则存在一类常系数选择使得方程无解
s p a n ( v 1 , … , v n ) = V , T ∈ L ( V , W ) ⟹ s p a n ( T v 1 , … , T v n ) = r a n g e T span(v_1,\dots,v_n)=V,\ T\in L(V,W) \implies span(Tv_1,\dots,Tv_n)=range \ Tspan(v1,…,vn)=V, T∈L(V,W)⟹span(Tv1,…,Tvn)=range T
S 1 , … , S n S_1,\dots,S_nS1,…,Sn是一一映射的线性映射，如果S 1 S 2 … S n S_1S_2\dots S_nS1S2…Sn有意义，则S 1 S 2 … S n S_1S_2\dots S_nS1S2…Sn是一一映射的
向量空间W WW是有限维度的，线性映射T ∈ L ( V , W ) T \in L(V,W)T∈L(V,W)，则T TT是一一映射的充要条件是存在一个线性映射S ∈ L ( W , V ) S\in L(W,V)S∈L(W,V)使得S T = I ST=IST=I（Idengtity Map）
向量空间W WW是有限维度的，线性映射T ∈ L ( V , W ) T \in L(V,W)T∈L(V,W)，则T TT是满射的充要条件是存在一个线性映射S ∈ L ( W , V ) S\in L(W,V)S∈L(W,V)使得T S = I TS=ITS=I（Idengtity Map）
向量空间W WW是有限维度的，T 1 , T 2 ∈ L ( V , W ) T_1,T_2\in L(V,W)T1,T2∈L(V,W)，则n u l l T 1 ⊂ n u l l T 2 ⟺ ∃ S ∈ L ( W , W ) , T 2 = S T 1 null \ T_1 \subset null \ T_2 \iff \exist S\in L(W,W),T_2=ST_1null T1⊂null T2⟺∃S∈L(W,W),T2=ST1
向量空间W WW是有限维度的，T 1 , T 2 ∈ L ( V , W ) T_1,T_2\in L(V,W)T1,T2∈L(V,W)，则r a n g e T 1 ⊂ r a n g e T 2 ⟺ ∃ S ∈ L ( V , V ) , T 1 = T 2 S range \ T_1 \subset range \ T_2 \iff \exist S\in L(V,V),T_1=T_2Srange T1⊂range T2⟺∃S∈L(V,V),T1=T2S