定义一种集合乘法X Y = { x y ∣ x ∈ X , y ∈ Y } XY=\{xy|x\in X,y\in Y\}XY={xy∣x∈X,y∈Y}.
那么我们可以看见若H ⩽ G H\leqslant GH⩽G,则H H = { h h ′ ∣ h , h ′ ∈ H } = { h ∣ h ∈ H } = H HH=\{hh'|h,h'\in H\}=\{h|h\in H\}=HHH={hh′∣h,h′∈H}={h∣h∈H}=H.
特别的,若集合中只有一个元素,那么可以这么写{ a } H = a H = { a h ∣ h ∈ H } \{a\}H=aH=\{ah|h\in H\}{a}H=aH={ah∣h∈H}.
现在我们可以用这种乘法书写了.
Theorem 1 \text{Theorem 1 }Theorem 1 H ◃ G H\triangleleft GH◃G,当且仅当g H = H g gH=HggH=Hg.
证明:H = g − 1 H g H=g^{-1}HgH=g−1Hg,显然正规子群的共轭仍然是原来的正规子群.
Lemma \text{Lemma }Lemma 若H ◃ G H\triangleleft GH◃G,那么任意集合在集合乘法中与H HH可交换.
Definition 定 义 G / H = { a H ∣ a ∈ G } , 其 中 H ◃ G . \text{Definition }定义G/H=\{aH|a\in G\},其中H\triangleleft G.Definition 定义G/H={aH∣a∈G},其中H◃G.
Theorem 2 G / H \text{Theorem 2 }G/HTheorem 2 G/H是群,称作商群.
H HH是G / H G/HG/H的幺元,a H aHaH的逆元是a − 1 H a^{-1}Ha−1H,若a H , b H ∈ G / H , aH,bH\in G/H,aH,bH∈G/H,那么a H b H = a b H H = ( a b ) H ∈ G / H aHbH=abHH=(ab)H\in G/HaHbH=abHH=(ab)H∈G/H,也容易验证结合律,从而G / K G/KG/K是群.
显然G / H G/HG/H的每一个元素都是群G GG的一个陪集,由拉格朗日定理商群的阶[ G : H ] = ∣ G ∣ ∣ H ∣ \displaystyle [G:H]=\frac{|G|}{|H|}[G:H]=∣H∣∣G∣.
Example \text{Example }Example Z / < m > = Z m Z/\left<m\right>=Z_mZ/⟨m⟩=Zm.
Theorem 3 \text{Theorem 3 }Theorem 3 正规子群与某个群同态的核一一对应.
证明:设正规子群K ◃ G K\triangleleft GK◃G,定义自然映射
π : G → G / K g ↦ g K \pi:\begin{array}{ccc} G&\to&G/K\\ g&\mapsto&gK \end{array}π:Gg→↦G/KgK
显然ker π = { π ( g ) = g K = K } = K \ker \pi=\{\pi(g)=gK=K\}=Kkerπ={π(g)=gK=K}=K,下面定理给出必要性.
Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理) \text{Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)}Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)
如果f : G → H f:G\to Hf:G→H是一个群同态,那么ker f ◃ G \ker f\triangleleft Gkerf◃G且G / ker f ≅ i m f G/\ker f\cong \mathrm{im} fG/kerf≅imf.
证明:由ker f \ker fkerf的性质,若g ∈ ker f g\in\ker fg∈kerf,则f ( g ) = e f(g)=ef(g)=e,于是f ( h − 1 g h ) = f − 1 ( h ) e f ( h ) = e f(h^{-1}gh)=f^{-1}(h)ef(h)=ef(h−1gh)=f−1(h)ef(h)=e,从而ker f ◃ G \ker f\triangleleft Gkerf◃G.
i m f \mathrm{im}fimf显然是一个群,群同构第一定理现在在说这样一件事,f ff是同态,那么f = f ∗ ∘ π = π f ∗ f=f^*\circ\pi =\pi f^*f=f∗∘π=πf∗,即把f ff分解为核的商群和一个新映射,则这个映射是同构.
Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理) \text{Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)}Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)
如果K ◃ G K\triangleleft GK◃G,则任意一个H ⩽ G H\leqslant GH⩽G有H K ⩽ G , H ∩ K ◃ G HK\leqslant G,H\cap K\triangleleft GHK⩽G,H∩K◃G,此时有
H / ( H ∩ K ) ≅ H K / K H/(H\cap K)\cong HK/KH/(H∩K)≅HK/K
证明:显然H ∩ K ⩽ K H\cap K\leqslant KH∩K⩽K,再有正规子群的子群仍然是正规子群.而K ◃ H K K\triangleleft HKK◃HK的证明的平凡的.
我们发现H K / K HK/KHK/K其实上就是{ h K ∣ h ∈ H } \{hK|h\in H\}{hK∣h∈H}.
由定理三,存在一个自然同态π \piπ的核是K KK,对核做在H HH集合上的限制得到一个新的自然映射π ′ : H → H / ( H ∩ K ) \pi':H\to H/(H\cap K)π′:H→H/(H∩K),那么i m π ′ = H K / K \mathrm{im} \pi'=HK/Kimπ′=HK/K,从而由群同构第一定理H / ( H ∩ K ) ≅ H K / K H/(H\cap K)\cong HK/KH/(H∩K)≅HK/K.
限制这个名词比较奇妙,思考一会我们可以观察到群同构第二定理和第一定理之间的关系.
群同构第一定理的特例是G / K = { x K ∣ x ∈ G } = G / K G/K=\{xK|x\in G\}=G/KG/K={xK∣x∈G}=G/K,
而群同构第二定理是( G ∩ H ) / ( K ∩ H ) = H / ( H ∩ K ) = { x K ∣ x ∈ G ∩ H } = { x K ∣ x ∈ H } = H K / K (G\cap H) /(K\cap H)=H/(H\cap K)=\{xK|x\in G\cap H\}=\{xK|x\in H\}=HK/K(G∩H)/(K∩H)=H/(H∩K)={xK∣x∈G∩H}={xK∣x∈H}=HK/K,恰是G GG上的一个商群导出了H ⩽ G H\leqslant GH⩽G上的一个商群.
Lemma \text{Lemma }Lemma 两侧由拉格朗日定理可以得到一个很有用的公式[ H : H ∩ K ] = [ H K : K ] , ∣ H ∣ ∣ K ∣ = ∣ H K ∣ ∣ H ∩ K ∣ [H:H\cap K]=[HK:K],|H||K|=|HK||H\cap K|[H:H∩K]=[HK:K],∣H∣∣K∣=∣HK∣∣H∩K∣.
Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理) \text{Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)}Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)设K ◃ G K\triangleleft GK◃G,那么设S u b ( G ; K ) = { X ∣ K ⊂ X ⩽ G } \mathrm{Sub}(G;K)=\{X|K\subset X\leqslant G\}Sub(G;K)={X∣K⊂X⩽G},则所有这样的子群和G / K G/KG/K的子群有一个一一对应的关系.
证明:定义一个显然的映射:
Φ : S u b ( G ; K ) → S u b ( G / K ; ∅ ) S ↦ S / K \Phi:\begin{array}{ccc} \mathrm{Sub}(G;K)&\to&\mathrm{Sub}(G/K;\varnothing)\\ S&\mapsto&S/K \end{array}Φ:Sub(G;K)S→↦Sub(G/K;∅)S/K
首先Φ \PhiΦ是一个单射,如果K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant GK⩽S⩽G,那么( π − 1 ∘ π ) ( S ) = S (\pi^{-1}\circ \pi)(S)=S(π−1∘π)(S)=S.
首先对于每一个s ∈ S s\in Ss∈S,π ( s ) = s K ∈ S / K \pi (s)=sK\in S/Kπ(s)=sK∈S/K,显然s ∈ π − 1 ( s K ) s\in \pi^{-1}(sK)s∈π−1(sK),从而S ⊂ ( π − 1 ∘ π ) ( S ) S\subset(\pi^{-1}\circ\pi)(S)S⊂(π−1∘π)(S).
其次对于每一个a ∈ π − 1 π S a\in \pi^{-1}\pi Sa∈π−1πS,有π ( a ) = s K \pi(a)=sKπ(a)=sK,对于某一个s ∈ S s\in Ss∈S,从而有某一个k ∈ K k\in Kk∈K,s k = a sk=ask=a,但因为K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant GK⩽S⩽G,于是a ∈ S a\in Sa∈S.
所以如果π ( S ) = π ( T ) \pi(S)=\pi(T)π(S)=π(T).那么S = T S=TS=T,从而Φ \PhiΦ是单射(Φ \PhiΦ也是一个自然映射的集合形式).
其次Φ \PhiΦ是一个满射,如果K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant GK⩽S⩽G,那么( π ∘ π − 1 ) ( S / K ) = S / K (\pi \circ \pi^{-1})(S/K)=S/K(π∘π−1)(S/K)=S/K.
首先对于每一个s ∈ S , 有 s K ∈ S / K , s ∈ π − 1 ( s K ) , π ( s ) = s K ∈ S / K s\in S,有sK\in S/K,s\in\pi^{-1}(sK),\pi(s)=sK\in S/Ks∈S,有sK∈S/K,s∈π−1(sK),π(s)=sK∈S/K,从而S / K ⊂ ( π ∘ π − 1 ) ( S / K ) S/K\subset (\pi \circ \pi^{-1})(S/K)S/K⊂(π∘π−1)(S/K).
其次对于每一个a K ∈ π π − 1 S / K aK\in \pi\pi^{-1} S/KaK∈ππ−1S/K,有A = A 1 ∪ A 2 = π − 1 ( a K ) A=A_1\cup A_2=\pi^{-1}(aK)A=A1∪A2=π−1(aK),其中A 1 ⊂ S A_1\subset SA1⊂S,A 2 ∩ S = ∅ A_2\cap S=\varnothingA2∩S=∅.容易证明A 2 = ∅ A_2=\varnothingA2=∅,从而显然π π − 1 S / K ⊂ S / K \pi\pi^{-1} S/K\subset S/Kππ−1S/K⊂S/K.
从而Φ \PhiΦ是满射.
由上,所有的子群和G / K G/KG/K的子群有一个一一对应的关系.
Theorem 6.2 \text{Theorem 6.2 }Theorem 6.2 K ⩽ S ⩽ T ⩽ G K\leqslant S\leqslant T\leqslant GK⩽S⩽T⩽G,当且仅当S / K ⩽ T / K S/K\leqslant T/KS/K⩽T/K,此时[ S : T ] = [ S / K : T / K ] [S:T]=[S/K:T/K][S:T]=[S/K:T/K].
K ◃ S ◃ T ◃ G K\triangleleft S\triangleleft T\triangleleft GK◃S◃T◃G,当且仅当S / K ◃ T / K S/K\triangleleft T/KS/K◃T/K,此时S / T ≅ ( S / K ) / ( T / K ) S/T\cong (S/K)/(T/K)S/T≅(S/K)/(T/K).
证明:略.