引言

今天被一个人问到了一个线性规划问题，这个问题我印象中只有在数学建模中会出现，于是就研究了一下，这里做一个记录。

示例

线性规划问题如下：
$$\begin{gathered} \text{max}z=90x_1+70x_2 \\ \begin{array}{r}s.t.\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& \le 16\\ 3x_1+2x_2& \le 36\\ 5x_2& \le 65\\ x_1,x_2& \ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
先将模型化为标准型：
$$\begin{gathered} \text{max}z=90x_1+70x_2 \\ \begin{array}{r}s.t.\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2+x_3& =16\\ 3x_1+2x_2+x_4& =36\\ 5x_2+x_5& =65\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5& \ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
标准形式下的约束条件系数矩阵的增广矩阵可以表示为：
$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 0& 0& |16\\ 3& 2& 0& 1& 0& |36\\ 0& 5& 0& 0& 1& |65\end{array}\right]$$
显然，我们应将 $x_3,x_4,x_5$ 视为基变量，且将 $x_1,x_2$ 视作非基变量。接下来，令 $x_1,x_2=0$，找到初始基可行解 $X=\left(0,0,16,36,65\right)$，列出初始的单纯形表：

观察（2）式可知，其中只有两个关于 $x_1$ 的约束条件：
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+x_3& =16\\ 3x_1+2x_2+x_4& =36\end{array}\text{\hspace{1em}(3)(4)}$$
现在我们要对 $x_1$ 进行研究，因此，首先令 $x_2=0$。

对于（3）式，如果我们令 $x_3$ 减小到 0， 那么 $x_1$ 最大可以取到 16。对于（4）式，如果我们令 $x_4$ 减小到 0，那么 $x_1$ 最大可以取到 12。因为两个约束条件共同作用，因此，$x_1$ 最大只能增加到 12。如上述表格中的 $\theta$ 所示。

此时，我们需要将 $x_1$ 作为换入变量，将 $x_4$ 作为换出变量。那么当完成替换后，z 值的增量为：
$$z_{\text{increase}}=12\times 90=1080$$
我们需要将上表中所有 $x_4$ 对应行中的 $x_1$ 的系数化简为 1，其余行 $x_1$ 的系数化 0，因此，我们需要进行行列式变换，变换后，我们得到新的单纯形表为：

对于（4）式，当 $x_3=0$，$x_2$ 每增大 1，$x_1$ 需要减小 $\frac{2}{3}$，因此，$x_2$ 每增大 1，对应 z 值的变化量为：
$$\begin{array}{rl}{z}_{\text{variation}}& =z_{x_1}+z_{x_2}\\ & =90\times (-\frac{2}{3})+70\times 1\\ & =-60+70\\ & =10\end{array}$$
对于（4）式，当 $x_1=0$，$x_2$ 每增大 1，$x_2$ 需要减小 $\frac{1}{2}$，因此，$x_4$ 每增大 1，对应 z 值的变化量为：
$$\begin{array}{rl}{z}_{\text{variation}}& =-\frac{1}{2}\times 70\\ & =-35\end{array}$$
替换完成后的非基变量变成了 $x_2,x_4$，接下来需要考虑将 $x_2$ 换入，三个约束条件均包含 $x_2$ 变量：
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+x_3& =16\\ 3x_1+2x_2+x_4& =36\\ 5x_2+x_5& =65\end{array}\text{\hspace{1em}(5)(6)(7)}$$
现在我们要对 $x_2$ 进行研究，因此，首先令 $x_1=0$。

对于（5）式，当 $x_3$ 减小到 0 时，$x_2$ 最大可以取到 16。对于（6）式，当 $x_4$ 减小到 0 时，$x_2$ 最大可以取到 18。对于（7）式，当 $x_5$ 减小到 0 时，$x_2$ 最大可以取到 13。因此，$x_2$ 的最大值只能取到 13。

类比上面相同的行列式操作，最终我们可以得到的单纯形表为：

对应上述单纯表，最终我们可以将标准模型变为：
$$\begin{gathered} \text{max}z=90x_1+70x_2 \\ \begin{array}{r}s.t.\{\begin{array}{cc}{x}_3-\frac{1}{3}{x}_4+\frac{1}{15}{x}_5& =\frac{1}{3}\\ x_1+\frac{1}{3}{x}_4-\frac{2}{15}{x}_5& =\frac{10}{3}\\ x_2+\frac{1}{5}{x}_5& =13\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5& \ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)} \end{gathered}$$
对于（7）式，$x_5$ 每增大 1，$x_2$ 需要减小 $\frac{1}{5}$，因此，$x_5$ 每增大 1，对应 z 值的变化量为：
$$\begin{array}{rl}{z}_{\text{variation}}& =-\frac{1}{5}\times 10\\ & =-2\end{array}$$
对于（7）式，$x_5$ 每增大 1，$x_2$ 需要减小 $\frac{1}{5}$，再考虑约束（6）式，$x_2$ 每减小 1，$x_4$ 需要增加 $\frac{2}{5}$，对应 z 值的变化量为：
$$\begin{array}{rl}{z}_{\text{variation}}& =-\frac{2}{5}\times 35\\ & =-14\end{array}$$
最终，z 值的最大值为：
$$z_{\text{increase}}=1080+10\times 13=1080+130=1210$$
因此，我们说，我们求解的原始线性规划问题等同于求解方程$y=1210-14x_4-2x_5$的最大值问题。

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