单摆公式
T = 2 π l / g T=2π \sqrt{l/g}T=2πl/g
证明
首先单摆在摆线和平衡位置时的摆线的夹角小于10度的时候可以视作简谐运动
简谐运动的判定标准是 是否存在回复力满足 F = − k x F=-kxF=−kx 其中k kk是恢复系数，是不变的
所以当夹角小于10度的时候，F = m g s i n θ F=mgsin\thetaF=mgsinθ,θ \thetaθ小于10度s i n θ sin\thetasinθ可以忽略不计，所以此时可以视作简谐运动
设摆长l ll,此时摆锤到平衡位置距离为x xx
由此可得 ，F = m g s i n θ = m g x / l = − k x F=mgsin\theta=mgx/l=-kxF=mgsinθ=mgx/l=−kx，得k = − m g / l k=-mg/lk=−mg/l
因为，简谐运动中x = A s i n ( ω t + ϕ ) x=Asin(\omega t+\phi)x=Asin(ωt+ϕ)，那么v vv就是x xx 的斜率，求导可得，v = − ω A c o s ( ω t + ϕ ) v=-\omega Acos(\omega t+\phi)v=−ωAcos(ωt+ϕ)，
同理求导可得加速度a = − ω 2 A s i n ( ω t + ϕ ) a=-{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)a=−ω2Asin(ωt+ϕ)，
因为此时回复力即提供加速度的合力，
所以F = m a = − k x F=ma=-kxF=ma=−kx,将上述公式代入，即− m ω 2 A s i n ( ω t + ϕ ) = − m g / l A s i n ( ω t + ϕ ) -m{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)=-mg/lAsin(\omega t+\phi)−mω2Asin(ωt+ϕ)=−mg/lAsin(ωt+ϕ)
得 ω = g l \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg
因为ω = 2 π f \omega=2πfω=2πf且f = 1 T f=\frac{1}{T}f=T1
可证：T = 2 π l / g T=2π \sqrt{l/g}T=2πl/g
反思
开学考选择题有道题出了整个模型，那时候没看出来，老师讲的时候我连单摆公式等全忘了
所以作此整理。
以后有空会把费老师的数学秒杀法陆陆续续传上来
本来想着把错排公式证明一下，但是费老师说不必要，就算了。