拉普拉斯变换卷积积分状态方程
* 浙江大学电工电子教学中心 电路原理教程(下)(PPT教学软件) 2011.2 第九章 拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程 主要内容: (1) 拉氏变换的定义及基本性质; (2) 拉氏反变换方法(分解定理); (3) 运算电路及初始条件的转换; (4) 网络函数及零极点分析; (5) 卷积积分; (6) 状态方程的建立. 直流激励源, 直流稳态解. 正弦交流激励源, 正弦交流稳态解. (复数变换) 稳态电路: 3) 任意激励源, 电路全响应(动态电路). 动态电路: (时域解微分方程) (拉氏变换) 正弦交流电路 三角函数计算 设 直接计算 反变换 相量电路 变换 复数计算 1)变换域求解电路问题的讨论: 在正弦交流电路中，相量计算是 变换域求解的方法。 9.1 拉氏变换及其应用概述 利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！！ 电路微分方程 时域 (解微分方程) 拉氏正变换 拉氏逆变换 S域象函数 ?频域 运算电路 (解代数方程) 用拉氏变换解动态电路的三个要点： ①激励函数的变换(正变换) ②电路元件的变换(运算电路) ③频域响应的逆变换(逆变换) 拉氏变换解动态电路的内容: (1) 拉氏变换原函数和象函数的转换; (2) 运算电路的建立及初始条件表示; (3) 运算结果(象函数)转换为时域表达式(分解定理). 一个定义在 的函数 ， 为复数。 其中 拉氏正变换为: 记作: 9.2 拉氏变换定义及基本性质 拉氏反变换为: 记作: 常见函数的拉氏变换： ①单位阶跃函数 ②单位冲击函数 式中利用了 的筛分性质，即： ③指数函数 拉氏变换的主要性质 ①线性性质 设: 则有 例9-2-1 求 、 和 的拉氏变换。 同理： 证： (分步积分) ② 微分定理 设 则 高阶导数 的拉氏变换式： 例9-2-2 已知 ，求 。 解：由于 ，由微分定理得： 同理： 由于 得 例9-2-3 求斜坡函数 解： 的拉氏变换 . ③ 积分定理 设 则 例9-2-4 求图示函数的拉普拉斯变换式。 解：由图可知： ④ 时域位移定理 设 则： 例： 求 的拉氏变换. 解：由频域位移定理 ⑤频域位移定理 设 则： ⑥卷积定理 设 则 卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式。 卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式. 例：求 的原函数. 解: 注意：当 为周期函数时，终值定理不可用。 ⑦初值定理与终值定理 设 初值定理: 终值定理: 例9-2-7．设 ，验证初值定理。 解： 又 得证 常用拉氏变换表 利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中进行积分，即可求出相应的原函数 但实际计算时, 直接利用拉普拉斯变换的公式. 把象函数(频域响应)利用部分分式展开的方法，将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可直接查表获得。 9.3 拉氏逆变换的展开定理 (从频域到时域的转换) 实际计算时，分母多项式的因式分解是重要一环。 对分母因式分解： 设有理分式函数 : 线性电路的频域响应结果一般为实系数多项式. 求系数 时,两边同乘 ,得: 令 ,得: (1)当 均为不等实根，原式可展开为： 同理,可求得各系数: 分解时系数计算公式! 逆变换式为： 求 的逆变换。 解：原式 (三个单实根) 例9-3-1： 原函数: 原式