LFSR——二进制下线性反馈移位寄存器与Berlekamp-Massey算法
转载自：元暑期学校课件(侵删)
线性反馈移位寄存器（LFSR）
给定一个线性反馈移位寄存器(LFSR)的n个初始值a 0 , a 1 , . . . , a n − 1 a_0,a_1,...,a_{n-1}a0,a1,...,an−1，不断地加移位脉冲，n级LFSR就会输出一序列
a 0 , a 1 , a 2 , . . . a_0, a_1,a_2,...a0,a1,a2,...
a i ∈ F 2 = { 0 , 1 } a_i\in F_2=\{0,1\}ai∈F2={0,1}.
其中a i + n a_{i+n}ai+n满足等式
a i + n = ∑ j = 1 n c j a i + n − j , c j ∈ F 2 . a_{i+n}=\sum^n_{j=1}c_ja_{i+n-j},c_j\in F_2.ai+n=j=1∑ncjai+n−j,cj∈F2.
我们把这样的序列称为 （n级）线性反馈移位寄存器（LFSR）。
特征 多项式与联接多项式
n级LFSR的**特征多项式(Characteristic Polynomial)**为
f ( x ) = x n + ∑ i = 1 n c i x n − i , f (x) = x ^ n + \sum _ {i = 1} ^ {n} c_ix ^ {n-i},f(x)=xn+i=1∑ncixn−i,
其**联接多项式(Reciprocal Polynomial/Joint Polynomial)**为
f ‾ ( x ) = x n f ( 1 x ) = 1 + ∑ i = 1 n c i x i . \overline{f} (x) = x^n f(\frac{1}{x})= 1 + \sum _ {i = 1} ^ {n} c_ix ^ i.f(x)=xnf(x1)=1+i=1∑ncixi.
将满足递推关系式（2）的n级LFSR序列称为由f ( x ) f(x)f(x)产生的序列。
G(f)：由f ( x ) f(x)f(x)产生的所有序列的全体组成的集合。
极小多项式
设a是F 2 F_2F2上的一个周期序列，存在F 2 F_2F2上唯一的首一多项式f ( x ) f(x)f(x)使得a∈ G ( h ( x ) ) \in G(h(x))∈G(h(x))当且仅当f ( x ) ∣ h ( x ) f(x)|h(x)f(x)∣h(x)。这个多项式f ( x ) f(x)f(x)称作a的极小多项式。
Berlekamp-Massey算法
Berlekamp-Massey算法(简称BM算法)：在已知二元序列的情况下求解其极小多项式和阶数。
（1） 设n 0 n_0n0是一个非负整数，满足
a 0 = a 1 = ⋯ = a n 0 − 1 = 0 , a n 0 ≠ 0. a_0=a_1=\cdots=a_{n_0-1}=0,a_{n_0}\neq 0.a0=a1=⋯=an0−1=0,an0̸=0.
取
d 0 = d 1 = ⋯ = d n 0 − 1 = 0 , d n 0 = a n 0 , d_0=d_1=\cdots=d_{n_0-1}=0,d_{n_0}=a_{n_0},d0=d1=⋯=dn0−1=0,dn0=an0,
令
f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = ⋯ = f n 0 ( x ) = 1 , f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_{n_0}(x)=1,f1(x)=f2(x)=⋯=fn0(x)=1,
l 1 = l 2 = ⋯ = l n 0 = 0. l_1=l_2=\cdots=l_{n_0}=0.l1=l2=⋯=ln0=0.
令
f n 0 + 1 ( x ) = 1 − d n 0 x n 0 + 1 , l n 0 + 1 = n 0 + 1. f_{n_0+1}(x)=1- d_{n_0}x^{n_0+1},l_{n_0+1}=n_0+1.fn0+1(x)=1−dn0xn0+1,ln0+1=n0+1.
(2) 假设( f i ( x ) , l i ) , 1 ≤ i ≤ n ≤ N (f_i(x),l_i),1\leq i\leq n \leq N(fi(x),li),1≤i≤n≤N 已经求得。而
l 1 = l 2 = ⋯ = l n 0 < l n 0 + 1 ≤ l n 0 + 2 ≤ ⋯ ≤ l n l_1=l_2=\cdots=l_{n_0}<l_{n_0+1}\leq l_{n_0+2}\leq \cdots \leq l_nl1=l2=⋯=ln0<ln0+1≤ln0+2≤⋯≤ln
根据f n ( x ) = 1 + c n , 1 x + ⋯ + c n , l n x l n f_n(x)=1+c_{n,1}x+\cdots+c_{n,l_n}x^{l_n}fn(x)=1+cn,1x+⋯+cn,lnxln，并计算
d n = a n + c n , 1 a n − 1 + ⋯ + c n , l n a n − l n . d_n = a_n + c_{n,1}a_{n-1}+\cdots+c_{n,l_n}a_{n-l_n}.dn=an+cn,1an−1+⋯+cn,lnan−ln.
如果d n = 0 d_n=0dn=0，则取
f n + 1 ( x ) = f n ( x ) , l n + 1 = l n ; f_{n+1}(x)=f_n(x), l_{n+1}=l_n;fn+1(x)=fn(x),ln+1=ln;
若d n ≠ 0 d_n\neq 0dn̸=0，这时一定存在1 ≤ m < n 1\leq m< n1≤m<n，使
l m < l m + 1 = l m + 2 = ⋯ = l n , l_m<l_{m+1}=l_{m+2}=\cdots=l_n,lm<lm+1=lm+2=⋯=ln,
取
f n + 1 ( x ) = f n ( x ) − d n d m − 1 x n − m f m ( x ) , f_{n+1}(x)=f_n(x)-d_nd_m^{-1}x^{n-m}f_m(x),fn+1(x)=fn(x)−dndm−1xn−mfm(x),
l n + 1 = m a x { l n , n + 1 − l n } . l_{n+1}=max\{l_n,n+1-l_n\}.ln+1=max{ln,n+1−ln}.
例 求周期为8的序列a ( 8 ) = 00101101 a^{(8)}=00101101a(8)=00101101的极小多项式和阶数。
解 a 0 = 0 , a 1 = 0 , a 2 = 1 , a 3 = 0 , a 4 = 1 , a 5 = 1 , a 6 = 0 , a 7 = 1 a_0=0, a_1=0, a_2=1, a_3=0, a_4=1, a_5=1, a_6=0, a_7=1a0=0,a1=0,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1. 首先n 0 = 2 n_0=2n0=2，因此
d 0 = d 1 = 0 , d 2 = 1 , d_0=d_1=0,d_2=1,d0=d1=0,d2=1,
f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = 1 , f 3 ( x ) = 1 − x 3 , f_1(x)=f_2(x)=1,f_3(x)=1-x^3,f1(x)=f2(x)=1,f3(x)=1−x3,
l 1 = l 2 = 1 , l 3 = 3. l_1=l_2=1,l_3=3.l1=l2=1,l3=3.
计算d 4 = a 4 − a 1 = 1 − 0 = 1 ≠ 0 d_4=a_4-a_1=1-0=1\neq 0d4=a4−a1=1−0=1̸=0，这时l 2 < l 3 = l 4 l_2<l_3=l_4l2<l3=l4，因此m=2，
f 5 ( x ) = f 4 ( x ) − d 4 d 2 − 1 x 4 − 2 f 2 ( x ) = 1 − x 3 − x 2 = 1 + x 2 + x 3 , f_5(x)=f_4(x)-d_4d_2^{-1}x^{4-2}f_2(x)=1-x^3-x^2=1+x^2+x^3,f5(x)=f4(x)−d4d2−1x4−2f2(x)=1−x3−x2=1+x2+x3,
l 5 = m a x { l 4 , 4 + 1 − l 4 } = 3. l_5=max\{l_4,4+1-l_4\}=3.l5=max{l4,4+1−l4}=3.
计算d 5 = a 5 + a 3 + a 2 = 1 + 0 + 1 = 0 d_5=a_5+a_3+a_2=1+0+1=0d5=a5+a3+a2=1+0+1=0，因此
f 6 ( x ) = f 4 ( x ) = 1 + x 2 + x 3 , l 6 = l 5 = 3. f_6(x)=f_4(x)=1+x^2+x^3,l_6=l_5=3.f6(x)=f4(x)=1+x2+x3,l6=l5=3.
计算d 6 = a 6 + a 4 + a 3 = 0 + 1 + 0 = 1 ≠ 0 d_6=a_6+a_4+a_3=0+1+0=1\neq 0d6=a6+a4+a3=0+1+0=1̸=0, 这时l 2 < l 3 = l 4 = l 5 l_2<l_3=l_4=l_5l2<l3=l4=l5，因此m = 2 m=2m=2，
f 7 ( x ) = f 6 ( x ) − d 6 d 2 − 1 x 6 − 2 f 2 ( x ) = 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 1 + x 2 + x 3 + x 4 ， f_7(x)=f_6(x)-d_6d_2^{-1}x^{6-2}f_2(x)=1+x^2+x^3-x^4=1+x^2+x^3+x^4，f7(x)=f6(x)−d6d2−1x6−2f2(x)=1+x2+x3−x4=1+x2+x3+x4，
l 7 = m a x { l 6 , 7 − l 6 } = 4. l_7=max\{l_6,7-l_6\}=4.l7=max{l6,7−l6}=4.
计算d 7 = a 7 + a 5 + a 4 + a 3 = 1 + 1 + 1 + 0 = 1 ≠ 0 d_7=a_7+a_5+a_4+a_3=1+1+1+0=1\neq0d7=a7+a5+a4+a3=1+1+1+0=1̸=0，这时l 6 < l 7 l_6<l_7l6<l7,因此m = 6 m=6m=6，
f 8 ( x ) = f 7 ( x ) − d 7 d 6 − 1 x 7 − 6 f 6 ( x ) = 1 + x 2 + x 3 + x 4 − x ( 1 + x 2 + x 3 ) = 1 + x + x 2 ， f_8(x)=f_7(x)-d_7d_6^{-1}x^{7-6}f_6(x)=1+x^2+x^3+x^4-x(1+x^2+x^3)=1+x+x^2，f8(x)=f7(x)−d7d6−1x7−6f6(x)=1+x2+x3+x4−x(1+x2+x3)=1+x+x2，
l 8 = m a x { l 7 , 8 − l 7 } = 4. l_8=max\{l_7,8-l_7\}=4.l8=max{l7,8−l7}=4.
所以a ( 8 ) = 00101101 a^{(8)}=00101101a(8)=00101101的极小生成多项式为1 + x + x 2 1+x+x^21+x+x2，阶数为4。