方阵函数的计算 – 源码巴士

方阵函数的计算一般有两种方式：Jordan标准型法和最小多项式法。

一、Jordan标准型法

假设存在矩阵A,有 $A=PJP^{-1}$ .我们已知存在 $f(A)=Pf(J)P^{-1}$ .也就是若对矩阵A函数计算，可以通过先对它的相似Jordan标准型J进行相同函数计算，之后左乘变换矩阵 $P$ ,右乘变换矩阵 $P^{-1}$ 得到需要的结果。

这是因为对于Jordan标准型而言，函数计算存在以下方便的计算方法：

也就是对Jordan标准型矩阵的计算可以转换为对对角元λ的代数计算，矩阵计算变代数计算，显然简化了许多。之后再左乘变换矩阵 $P$ ,右乘变换矩阵 $P^{-1}$ 得到需要的结果。

例题：有矩阵A= $\left ( \right )$ ，求f(A)

解：①先通过 $|λE-A|=0$ $\left | \lambda E-A \right |=0$ ,求解其特征值λ1，λ2=λ3，……（注意，这里边一般存在重根，若不存在重根那就意味着可以直接相似为对角阵，那样比Jordan标准型更简单了）。

②针对不同特征值求解其特征向量 $\left | A-\lambda E \right |=0$ ，一般对于重根会出现几何重数小于代数重数，意味着只能相似为Jordan标准型，求出其Jordan标准型，（具体求法在前面中讨论过）。

③针对Jordan标准型按照上图方法求出其结果（切记对不同Jordan块都得求出，别忘记了）

④ 按照 $f(A)=Pf(J)P^{-1}$ 求出f(A)的值即可。

该方法计算难点：

相似变换矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$ 难求
3个矩阵相乘 $Pf(J)P^{-1}$ 计算繁琐。

二、最小多项式法

注意：（1）满足条件里f(λ)中的λ为方阵A的特征值。

（2）f(λ)求导的次数为相应特征值代数重数减1

（为什么是 $\left ( \displaystyle \lambda -\lambda _{i} \right )^{m_{i}}$ 中 $m_{i}$ 减1呢，其实是为了构造下面所示的Jordan块函数相等，已用红色标注出来，太巧妙了。

为什么要用最小多项式作为已知首选条件呢，这是因为：最小多项式中 $\left ( \displaystyle \lambda -\lambda _{i} \right )^{m_{i}}$ 中 $m_{i}$ 的大小限制了针对 $\lambda _{i}$ 子Jordan矩阵 $J_{i}$ 中Jordan块 $J_{i1},J_{i2},....,J_{in}$ 的最高阶 $m_{i}$ ）