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1、关系代数概述
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数运算中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其它运算即交、连接和除，均可通过5种基本的运算来表达 。
运算符：
- 集合运算符
- 将关系看成
元组的集合 - 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
- 将关系看成
- 专门的关系运算符
- 不仅涉及
行而且涉及列
- 不仅涉及
- 算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
- 逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
常见的关系运算符如下：
1.1 传统的集合运算
设关系R RR和关系S SS是相容的，t tt代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：
（1）并（Union）
- 关系R RR与关系S SS的并记作：R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
- 结果关系是由属于R RR或属于S SS的元组组成，且结果仍为n nn目关系，但结果关系要消除重复元组。
举例：
R RR和S SS
- 具有相同的目n nn（即两个关系都有n个属性）
- 相应的属性取自同一个域
R ∪ S R∪SR∪S
- 仍为n nn目关系，由属于R RR或属于S SS的元组组成
- R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
具体如下图所示：
（2）交（ Intersection）
- 关系R RR与关系S SS的交记作：R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
- 结果关系由既属于R RR又属于S SS的元组组成，且仍为n nn目关系。
举例：
R RR和S SS
- 具有相同的目n nn
- 相应的属性取自同一个域
R ∩ S R∩SR∩S
- 仍为n nn目关系，由既属于R RR又属于S SS的元组组成
- R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
具体如下图所示：
（3）差（Difference）
- 关系R与关系S的差记作：R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
- R RR和S SS的差，结果关系由属于R RR而不属于S SS的所有元组组成，且仍为n nn目关系,即在关系R RR中减去R RR和S SS的相同元组。
举例：
R RR和S SS
- 具有相同的目n nn
- 相应的属性取自同一个域
R − S R - SR−S
- 仍为n nn目关系，由属于R RR而不属于S SS的所有元组组成
- R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
- 两个分别为 n nn目和m mm目的关系，R RR和S SS的广义笛卡尔积是一个( n + m ) (n+m)(n+m)列的元组的集合。
- 元组的前n nn列是关系R RR的一个元组，后m mm列是关系S SS的一个元组。若R RR有k 1 k_1k1个元组，S SS有k 2 k_2k2个元组，则关系R RR和关系S SS的广义笛卡尔积有k 1 × k 2 k_1×k_2k1×k2个元组。
- 记作：R × S = { ( a 1 , a 2 , … a m , b 1 , b 2 , … b n ) ∣ ( a 1 , a 2 , … a m ) ∈ R ∧ ( b 1 , b 2 , … b n ) ∈ S } 。 R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。R×S={(a1,a2,…am,b1,b2,…bn)∣(a1,a2,…am)∈R∧(b1,b2,…bn)∈S}。
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
- R RR: n nn目关系，k 1 k_1k1个元组
- S SS: m mm目关系，k 2 k_2k2个元组
R × S R×SR×S
列:m + n m+nm+n列元组的集合
- 元组的前n nn列是关系R RR的一个元组
- 后m mm列是关系S SS的一个元组
行：k 1 × k 2 k_1×k_2k1×k2个元组
具体如下图所示：
1.2 专门的关系运算
在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1）R , t ∈ R , t [ A i ] R,t\in R,t[A_i]R,t∈R,t[Ai]
设关系模式为R ( A 1 ， A 2 ， … ， A n ) R(A_1，A_2，…，A_n)R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R RR，t ∈ R t\in Rt∈R表示t tt是R RR的一个元组，t [ A i ] t[A_i]t[Ai]则表示元组t中相应于属性A i A_iAi的一个分量。
（2）t r t s ⏞ \overbrace{t_rt_s}trts ， R RR为n nn目关系，S SS为m mm目关系。
t r ∈ R ， t s ∈ S ， t r t s ⏞ t_r\in R，t_s\in S， \overbrace{t_r t_s}tr∈R，ts∈S，trts称为元组的连接。t r t s ⏞ \overbrace{t_r t_s}trts是一个n + m n + mn+m列的元组，前n nn个分量为R RR中的一个n nn元组，后m mm个分量为S SS中的一个m mm元组。
（3）象集Z x Z_xZx
给定一个关系R （ X , Z ） R（X,Z）R（X,Z），X XX和Z ZZ为属性组。当t [ X ] = x t[X]=xt[X]=x时，x xx在R RR中的象集（Images Set）为：
Z x = t [ Z ] ∣ t ∈ R ， t [ X ] = x Z_x={t[Z]|t \in R，t[X]=x}Zx=t[Z]∣t∈R，t[X]=x
它表示R RR中属性组X XX上值为x xx的诸元组在Z ZZ上分量的集合。
举例如下：
上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：
学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即R ( S n o , C n o , G r a d e ) R(Sno, Cno, Grade)R(Sno,Cno,Grade)。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为200215121的学号在关系R（SC表）中的象集为S n o 200215121 = { 1 ， 2 ， 3 } Sno_{200215121}=\{1，2，3\}Sno200215121={1，2，3}，以此类推，这样就比较容易理解一点。
1.2.1 选择运算
- 选择又称为限制
- 选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
- 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作：σ F （ R ） = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ‘真’ } σF（R）=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\}σF（R）={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}
- F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
- 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
F：选择条件，是一个逻辑表达式
- 基本形式为：X 1 θ Y 1 X_1θY_1X1θY1
- θ θθ：比较运算符（＞， ≥ ，＜， ≤ ，＝或 < > ） （＞，≥，＜，≤，＝或<>）（＞，≥，＜，≤，＝或<>）
- X 1 ， Y 1 X_1，Y_1X1，Y1：属性名、常量、简单函数.
- 属性名也可以用它的序号来代替；
以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生
σ S d e p t = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) 或 σ 5 = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) σ_{Sdept} = 'IS' (Student) 或 σ_5 ='IS'(Student)σSdept=′IS′(Student)或σ5=′IS′(Student)
结果：
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σ S a g e < 20 ( S t u d e n t ) 或 σ 4 < 20 ( S t u d e n t ) σ_{Sage< 20}(Student) 或 σ_{4 < 20}(Student)σSage<20(Student)或σ4<20(Student)
结果：
1.2.2 投影（Projection）
投影运算符的含义：
- 从R中选择出若干属性列组成新的关系
- π A ( R ) = t [ A ] ∣ t ∈ R π_A(R) = { t[A] | t \in R }πA(R)=t[A]∣t∈R
- A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算：
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
举例说明一下：
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
π S n a m e ， S d e p t ( S t u d e n t ) 或 π 2 ， 5 ( S t u d e n t ) π_{Sname，Sdept}(Student) 或 π_{2，5}(Student)πSname，Sdept(Student)或π2，5(Student)
结果：
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系
π S d e p t ( S t u d e n t ) π_{Sdept}(Student)πSdept(Student)
结果：
由此可见，使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表，这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。
1.2.3 连接（Join）
连接也称为θ θθ连接
连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
连接运算从R 和 S R和SR和S的广义笛卡尔积R × S R×SR×S中选取（R RR关系）在A AA属性组上的值与（S SS关系）在B BB属性组上值满足比较关系θ θθ的元组
举例说明一下：
[例5]关系R和关系S 如下所示：
1.2.4 两类常用连接运算
（1）等值连接（equijoin）
- 什么是等值连接?
- θ为“＝”的连接运算称为等值连接
- 等值连接的含义
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
那些元组，即等值连接为：
举例说明：
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
（2）自然连接（Natural join）
- 自然连接是一种特殊的等值连接
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
- 在结果中把重复的属性列去掉
- 自然连接的含义
- R和S具有相同的属性组B
举例：
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
1.2.5 除（Division）
给定关系R ( X ， Y ) R (X，Y)R(X，Y)和S ( Y ， Z ) S (Y，Z)S(Y，Z)，其中X ， Y ， Z X，Y，ZX，Y，Z为属性组。R RR中的Y YY与S SS中的Y YY可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R RR与S SS的除运算得到一个新的关系P ( X ) P(X)P(X)，P PP是R RR中满足下列条件的元组在 X XX 属性列上的投影：
元组在X XX上分量值x xx的象集Y x Y_xYx包含S SS在Y YY上投影的集合，记作：
关于象集的概念我们在前面已经提到了，在此直接举例子说明除：
[例6]设关系R 、 S R、SR、S分别为下图的(a)和(b)，R ÷ S R÷SR÷S的结果为图©
通过上面的结果我们可以发现，关系R RR中的B 、 C B、CB、C属性组，和关系S SS中的B 、 C B、CB、C属性组的域都是相同的，R 与 S R与SR与S的除运算得到了一个新的关系，我们将它当做P ( A ) P(A)P(A)，P PP是R RR中满足上述条件的元组在A AA属性列中的投影。
分析：
设关系R ， S R，SR，S,分别为例6中的(a)和(b)，R ÷ S R÷SR÷S的结果为图©,关系R RR中A AA可以取四个值{ a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 } , \{ a_1，a_2，a_3，a_4\},{a1，a2，a3，a4}, 其中：
- a 1 a_1a1的象集为{ （ b 1 ， c 2 ） , （ b 2 ， c 1 ），（ b 2 ， c 3 ） } \{（b_1，c_2）,（b_2，c_1），（b_2，c_3）\}{（b1，c2）,（b2，c1），（b2，c3）}
- a 2 a_2a2的象集为{ （ b 3 ， c 7 ） , （ b 2 ， C 3 ） } \{（b_3，c_7）,（b_2，C_3）\}{（b3，c7）,（b2，C3）}
- a 3 a_3a3的象集为{ ( b 4 ， c 6 ) } \{ (b_4，c_6) \}{(b4，c6)}
- a 4 a_4a4的象集为{ （ b 6 ， c 6 ） } \{（b_6，c_6）\}{（b6，c6）}
S SS在（ B ， C ） （B，C）（B，C）上的投影为{ （ b 1 ， c 2 ），（ b 2 ， c 1 ） , （ b 2 ， c 3 ） } \{（b_1，c_2），（b_2，c_1）,（b_2，c_3）\}{（b1，c2），（b2，c1）,（b2，c3）}
显然只有a 1 a_1a1的象集包含了S SS在( B , C ) (B,C)(B,C)属性组上的投影，所以R ÷ S = { a 1 } R÷S=\{a1\}R÷S={a1}。
除操作是同时从行和列角度进行运算
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