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本节主要介绍欧氏空间中标准正交基的确定，这一块是考研中比较容易得分的一个版块，但是大家要注意这是一个失分点，大家容易忽略如何去确定标准正交基，所以大家一定要注意基础定义的熟练掌握，切勿眼高手低，多去记忆基础定义，考试遇到题目的时候，能够快速得分.

定义1.欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.

岩宝小提示：正交向量组是线性无关的. 事实上，设正交向量组

有一线性关系

用 与等式两边作内积，即得

由 有

从而

以上结果也说明了在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个，这个事实的几何意义是清楚的.例如在平面上找不到三个两两垂直的的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.

定义2.在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

定义3. n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA'=E.

定理1. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.

证明：设

是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.

当 n-m=0 时 ,

就是一组正交基了.

假设 n-m=k 时,也就是说，可以找到向量

使得

成为一组正交基.

现在看 n-m=k+1 的情形. 因为 ,所以一定有向量 不能被

线性表出，作向量

这里

是待定的系数. 用 和 作内积，得

取

有

由 的选择可知 ,

因此

是一正交向量组，根据归纳法假定,

可以扩充成一正交基.

定理2. 对于n维欧氏空间中任意一组基

可以找到一组标准正交基

使

证明：设

是一组基，我们来逐个地求出向量

首先，可取

一般地，假定已经求出

它们是单位正交的，具有性质

下一步求 .

因为

所以 不能被

线性表出.

按照定理1证明的方法，作向量

显然有

令

就是一单位正交向量组. 同时

由归纳原理，定理2得证.

岩宝小提示：定理2中要求

就相当于由基

到基

的过渡矩阵是上三角形的.

例1.把

变成单位正交的向量组.

证明：先把它们正交化，得

再单位化，得

例2.在2级实矩阵构成的线性空间中定义

其中A,B是任意2级实矩阵.
(1)证明如上定义 是线性空间 上的内积.
(2)设W是由矩阵

生成的子空间，求的一组标准正交基.
(3)举例说明定义

不构成内积.

证明：(1)
(i)

(ii)

(iii)任取 即有

(iv)

当且仅当 A=O 时

即 是线性空间 上的内积.

(2) 对任意的 我们设

则

即

于是

即

所以

现在记

易知 是线性无关的(岩宝提示：如果不放心可以按照线性无关的定义进行验证)，从而

现在对于 进行施密特正交化，变为标准正交基：
首先,

所以

是一个单位向量.接下来由施密特正交化有

而

对 进行单位化可得

(3) 例如取

这时 但是

这与内积的正定性矛盾.

岩宝同步思考练习

1.在 中定义内积为

求 的一组标准正交基(由基 出发做正交化).

2.在欧氏空间 中，定义内积为

设W是所有n级实对称矩阵组成的线性子空间，求 和 的一组标准正交基.

3.设A为n阶实对称正定矩阵,

为 维欧氏空间 ( 标准度量 )中的n+1个向量，若已知
(1)

(2)

(3)

与正交

证明：.

4.设A是一个实系数方阵，判断若A的行向量组两两正交，则它的列向量组也两两相交，是否正确，若正确请给出证明.不正确请给出反例.

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