白噪音及其检验

白噪音

• 定义1：如果时间序列$\{{\epsilon }_t,t=1,\cdots T\}$满足如下条件，则称该时间序列为白噪音序列
  • $E({\epsilon }_t)=0,Var({\epsilon }_t)={\sigma }^2$
  • $E({\epsilon }_t\times {\epsilon }_s)=0,\forall t\ne s$。即当$s\ne t$时，${\epsilon }_t$和${\epsilon }_s$不相关
• 定义2：如果时间序列$\{X_t\}$满足如下性质，则称该序列为纯随机序列，也称为白噪音序列
  • $E(X_t)=\mu ,\forall t\in T$
  • $r(t,s)={\sigma }^2,t=s,\forall t,s\in T$
  • $r(t,s)=0,t\ne s,\forall t,s\in T$
• 性质
  • 纯随机性，无记忆：$r(k)=0,\forall k\ne 0$
  • 方差齐性：序列中每个变量的方差都相等，即$D(X_t)=r(0)={\sigma }^2$。如果序列不满足方差齐性，则称序列具有异方差性质。
    • 根据马尔科夫定理，满足方差齐性时，用最小二乘得到的未知参数估计值是准确的、有效的。若不满足，最小二乘估计值不是方差最小线性无偏估计，拟合模型的精度会受到很大的影响
    • 模型拟合时，检验内容之一就是要检验拟合模型的残差是否满足方差齐性。若不满足，说明残差序列还不是白噪音序列，即拟合模型没有充分提取随机序列中的相关信息。此时通常需要使用适当的条件异方差模型来处理异方差信息。
    • 方差齐性检验

白噪音的检验

• Barlett定理：如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为$n$的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布：${\rho }_k\sim N(0,\frac{1}{n})，\forall k\ne 0$
• $Q$统计量/$Q_{BP}$统计量
  • 适用范围：大样本
  • 近似服从自由度为$m$的卡方分布：$Q=n\times {\sum }_{k=1}^m{\rho }_k^2\sim {\chi }^2(m)$
    • 当统计量大于${\chi }_{1-\alpha }^2(m)$分位点，或该统计量的$P$值小于$\alpha$时，则可以以$1-\alpha$的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪音序列。否则，为白噪音
• $LB$统计量/$Q_{LB}$统计量
  • 适用范围：小样本
  • 近似服从自由度为$m$的卡方分布：$LB=n\times (n+2)\times {\sum }_{k=1}^m\frac{{\rho }_k^2}{n-k}$
• 对于一个长度为$T$的白噪音序列，我们期望在95%的置信度下，它的自相关值(acf)属于区间$[\frac{-2}{\sqrt{T}},\frac{2}{\sqrt{T}}]$