多元函数求极值中的a_多元函数的极值与其求法

昨天晚上荷尔蒙旺盛，没控制住自己，犯了生活错误（此处省略1000字......），结果两眼发黑，腰椎痛，第二天数学课没精打采的——好吧，我就是多刷了会儿剧，没别的。

车开完了，进入正题。下午正当我寻思是睡一觉还是撸一会儿吃鸡的时候，隔壁班小姐姐来交流数学作业问题。纵使我数学课上摸鱼良久，大脑一片空白，此刻也必须在异性面前稳如老狗丝毫不慌——hold住兄弟！

我们在高中学习一元函数时，知道给函数求个导令个0就可以轻松把函数的的极大值极小值算出来，但遇到多元函数时，又该如何处理呢？

首先，关于极值点，可以认为是“某点在某领域的最值”。而且，我们认为多元函数的极值求解有两类，无条件极值（给你一条孤零零的函数直接算）和条件极值（高中学过的定积求和和定和求积中的“定”就是条件）

其次，我们引入二元函数的两个定理：

定理1：（必要条件）设函数

在点

具有偏导数，且在点

处有极值，则有

证明思路，极值定义

定理2：（充分条件）设函数

在点

的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

，令

则

在

处是否取得极值的条件如下：

（1）

时，具有极值，且当

时具有极大值，反之同理

(2)

时，无极值

(3)

时，不确定 （证明留作习题，读者自证不难）

总的来叙述求解步骤就是：

第一步：分别对

求偏导，令等于0求所有驻点。

第二步：对于每一个驻点，求出三个二阶偏导数的值。

第三步：定出

的符号，按照定理2进行判断即可。

关于条件极值

机智的同学可能会说，为什么不利用形式化和熟悉化原则，把条件带入函数中转化为非条件极值然后一通乱搞。说的好，但我们说， 懒是创造力的源泉，有些函数转化为非条件函数后会变得特别恶心，贼难算，这时候数学家就引入了一种新的计算方法——拉格朗日乘数法。

由于我们是非数学系的学生，所以直接嫖它的结论：

在附加条件

下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数

其中

是参数，求其对

的一阶偏导数，并使之为0，然后联立方程：

由以上的方程解出的

就是函数

在附加条件下可能的极值点。

给了鸡汤当然还得给个勺子，我们来撸一道简单的题

求函数

在适合附加条件

下的极大值

解：作朗格朗日函数

令

(1)

(2)

(1)+(2),并且带入

得到

注意到，我们这里是没办法用二元函数极值的充分条件判断极大小值（

），而且题目明确提出了极大值，只有一个驻点，我们带进就ok.

所以