1. 已知离散时间系统的差分方程为：
2y(n) - y(n-1) - 3y(n-2)=2x(n) - x(n-1)
x(n)=0.5n u(n) , y(-1)=1,y(-2)=3 , 试用filter 函数求系统的零输入响应、零状态响应和全响应.
解：将差分方程Z 变换得：
12112()[()(1)]3[()(1)(2)]2()[()(1)]Y z z Y z y z Y z z y y X z z X z x -----+--+-+-=-+- (1)
依题意有：x(-1)=0,x(-2)=0,y(-1)=1,y(-2)=3 ,X(z)=
1110.50.5
z z z -=-- 将上式变形如下： 1211(23)()[(1)3(1)3(2)](2)()z z Y z y z y y z X z --------+-+-=-………..(2) 1211(23)()(2)()[(1)3(1)3(2)]z z Y z z X z y z y y ------=-+-+-+-
1211(23)()(2)()[103]z z Y z z X z z ------=-++ (3)
易得系统函数为H(z)=12122222323
z z z z z z z -----=---- ①零输入时
零输入时，x(n)=0,差分方程右边为0，z 变换后应为
121(23)()103z z Y z z -----=+
1
12
103()23z Y z z z ---+=-- =2210323
z z z z +-- =7183
5152
z z z z ++- 将Y(z)进行Z 反变换，得到其零输入响应为： y(n)=7
183[(1)()]()552
n n u n -+ ②零状态时
零状态时，将y(-1)=0,y(-2)=0代入上面的式(2)中，得
Y(z)=112223z z z ------X(z)=112223z z z ------1110.5z --=22223
z z z --