线性代数——矩阵与线性变换

笔记。

1. 线性变换定义为，若一个变换L满足以下两条性质：

L(v+w)=L(v)+L(w) $\space\space\space\space\space\space$ “可加性”
L(cv)=cL(v) $\space\space\space\space\space\space$ “成比例”

在几何上看就是，如果将空间用网格表示，则保持网格线平行和等距分布，且原点不动的变换就是线性变换（若保持网格线平行和等距时原点发生变化，就是仿射变换而不是线性变换）。

2.假设在二维平面中有一组单位基向量i，j，即：
$i=\binom{1}{0},j=\binom{0}{1}$
则在二维平面上的任何向量都可以用i，j 来表示，即：
$\binom{x}{y}=xi+yj=x\binom{1}{0}+y\binom{0}{1}$

如果在二维平面上进行线性变换，例如这个变换使得 i 变为了 $\binom{1}{-2}$ , j变为了 $\binom{3}{0}$ ，则上述用i，j表示的向量 $\binom{x}{y}$ 可表示成：
$\binom{x}{y}=xi+yj=x\binom{1}{-2}+y\binom{3}{0}=\binom{1x+3y}{-2x+0y}$
将 i 和 j 组成 $2\times 2$ 的矩阵，即 $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -2& 0 \end{pmatrix}$ ，其中第一列为 i 的变换后的值，第二列为 y 的变换后的值。此时可将矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -2& 0 \end{pmatrix}$ 看成是一个描述线性变换的信息，则其作用在如向量 $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ 上的作用就相当于下述式子： $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -2& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}=5\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}+7\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

例如，如果一个线性变换为“逆时针旋转90°”，则其所对应的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1& 0 \end{pmatrix}$ ，则任意向量 $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ 在进行了同样的线性变换之后的结果为 $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

3.将上述过程一般化，设有矩阵 $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ ，则 $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ 就可看成是线性变换L（将基向量 $i=\binom{1}{0},j=\binom{0}{1}$ 变为 $i=\binom{a}{c},j=\binom{b}{d}$ ）对向量 $\binom{x}{y}$ 产生的作用， $\binom{x}{y}$ 也可看作是对于变换后的基向量的线性组合方式。

总之，线性变换是操纵空间的一种手段，保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。这种变换只需几个数字就能描述清楚，这些数字就是变换后基向量的坐标。以这些坐标为列构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言，而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。每当看到一个矩阵时，都可将它看作为对空间的一种特定变换。

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