随机信号分析基础——基础篇（数字特征）

书籍参考：随机信号分析基础——王永德、王军（第五版）

1、概论

一、除开有用信号表现不确定性，噪声也表现不确定性。随机过程不只是有用信号。
那么是否有用信号最终经过如滤波处理成为确定信号？

二、什么是随机过程（随机信号）？
是随时间变化的随机变量；随机过程既是时间$t$的函数，也是随机实验结果$\xi$的函数，记作$X(t,\xi )$，常常省略$\xi$不写，简记$X(t)$。

三、关于$X(t)$的内涵
1、当$t$，$\xi$都为变量时，$X(t)$为随机过程，明确了随机信号的基础。
2、当$t$固定，$\xi$为变量，$X(t)$为随机变量，明确了随机信号的分析方法。
3、当$t$变化，$\xi$固定，$X(t)$为确定的时间函数，明确了随机信号分析的目标。
4、当$t$固定，$\xi$固定，$X(t)$为确定值，明确了随机信号分析结果。

四、随机过程分类
如果任意样本函数可由过去的观测值准确预测，那么就是确定的随机过程，如：
$X(t)=Asin(wt+\varphi )$，即使$A或w或\varphi$，为或都为随机变量。为什么？

例如当A为随机变量，那么$X(t)$为调幅信号是随机的，我们可以知道其中的有用信号——调制信号是确定的正弦信号。

2、数字特征

注：$p_x(x;t)$为$X(t)$的一维概率密度函数

一、数字期望
使用统计算子E[*]，对随机过程进行统计平均。
$m_X(t)=E[X^{(}t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{p}_x(x;t)dx$

若$X(t)$为噪声电压，则数字期望$m_X(t)$表现为直流成分。
为什么数字期望表现为直流？

二、均方值和方差
均方值${\psi }^2(t)=E[X^2(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2{p}_x(x;t)dx$
方差${\sigma }_x^2(t)=E[|X(t)-m_X(t){|}^2]=E[X^2(t)]-m_X^2(t)$

若$X(t)$为噪声电压
则均方值${\psi }^2(t)$表现为总功率，方差为剔除直流分量后的交流功率。

那么最终的输出功率应该包含直流功率吗？
答案是不应该包括，因为直流不包含有用信息，是应该被剔除的。

三、自相关和协方差
自相关函数表示任意两个不同时刻状态的相关性，越大相关性越强，变化越慢，频率低；
$R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_2{p}_x(x_1,x_2;t_1,t_2)d{x}_{1}d{x}_2$

$C_X(t_1,t_2)$=$E[${$X(t_1)-m_X(t_1)$}{$X(t_2)-m_X(t_2)$}$]$
可以看出协方差是剔除自相关函数剔除直流成分。
$C_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)$

3、核心数字特征

一维：数字期望$m_X(t)$
二维；自相关函数$R_X(t_1,t_2)$

为什么它们是核心数字特征？
原因在于其余的数字特征都可以通过它两间接算出。

例如：均方值${\psi }^2(t)=E[X^2(t)]=R_X(t,t)$
由于自相关常常使用在等间隔采样的序列中，
所以$R_X(t_1,t_2)=R_X(t,t+\tau )$，而均方值就等于采样间隔$\tau =0$时的自相关。

结语：随机过程是否包含确定过程？