初等变换
一、初等变换3种方式
- 对调矩阵的两行（两列）；
- 以 k ≠ 0 k \not = 0k=0 乘某一行（列）所有元素；
- 某一行（列）元素 k kk 倍加到另一行（列）；
二、初等矩阵
初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
左乘初等矩阵 = 行变换
右乘初等矩阵 = 列变换
初等矩阵所对应的行列式一定不为0。
逆矩阵
定义：已知方阵 A AA，求一个方阵 B BB ，使得矩阵 B BB 满足：A B = B A = E AB = BA = EAB=BA=E，称 B BB 为 A AA 的逆矩阵。
奇异矩阵：不可逆矩阵
非奇异矩阵：可逆矩阵
三、求逆矩阵
方法1：直接求逆矩阵（行变换法）
逆矩阵求法：初等行变换： ( A ∣ E ) → ( E ∣ A − 1 ) (A|E) \to (E|A^{-1})(A∣E)→(E∣A−1)
直接在原矩阵右边增加一个单位矩阵，经过初等行变换将原矩阵变化为单位矩阵，右侧矩阵即原矩阵的逆。
方法2：凑逆矩阵
根据题干提示信息，经过变换，可得到逆矩阵。
四、化简表达式
∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|} = |A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣1=∣A∣−1
( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1A−1
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}(A−1)T=(AT)−1
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