陶哲轩实分析 6.1 节习题试解

陶哲轩实分析 6.1 节习题试解

6.1.1 设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$是一个实数列，对每个自然数 $n$都满足 $a_{n+1} > a_n$，证明只要 $n$和 $m$是自然数，满足 $m > n$，我们就有 $a_m > a_n$

数学归纳法：
当 $m = n + 1$时 $a_m = a_{n+1} > a_n$
假设对于 $m$成立：$a_m > a_n$
那么对于 $m + 1$有： $a_{m+1} > a_m > a_n$
所以对于任意的 $m > n$都有 $a_m > a_n$

6.1.2 设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个实数列，并且 $L$是一个实数，证明：$(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $L$当且仅当对于任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - L| \leq \varepsilon$

因为 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $L$。
所以对任意的 $\varepsilon > 0$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$都终极 $\varepsilon$- 接近 $L$。
所以对任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - L| \leq \varepsilon$

因为对于任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - L| \leq \varepsilon$。
所以对任意的 $\varepsilon > 0$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$都终极 $\varepsilon$- 接近 $L$。
所以$(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $L$。

6.1.3 设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个实数列，$c$是一个实数，并且设 $m' > m$是整数，证明：$(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$当且仅当 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。

先证明 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$可以推出 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。
因为 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$。
所以对于任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - c| \leq \varepsilon$。
取 $N' = \max(N, m')$，那么当 $n \geq N'$时有 $|a_n - c| \leq \varepsilon$。
所以 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。

再证明$(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$可以推出 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$。
因为 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。
所以对于任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m'$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - c| \leq \varepsilon$。
因为 $N \geq m', m' > m$，所以有 $N \geq m$。
所以对于任何给定的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - c| \leq \varepsilon$。
所以 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。

6.1.4 设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个实数列，$c$是一个实数，并且设 $k \geq 0$时不小于 $0$的整数。证明：$(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$当且仅当 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$。

序列 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$可以写为 $(a_{n})_{n=m'}^{\infty}$其中 $m' = m + k \geq m$
利用上题结论有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$当且仅当 $(a_{n})_{n=m'}^{\infty}$收敛到 $c$。
所以 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$当且仅当 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$收敛到 $c$。

6.1.5 设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个收敛的实数列，证明 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是 Cauchy 列。

$(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个收敛的实数列，设其收敛到实数 $L$。
也就是说对任意的 $\varepsilon > 0$都能找到 $N \geq m$，使得对于一切的 $n \geq N$，$|a_n - L| \leq \varepsilon / 2$。
所以对任意的 $i, j \geq N$有 $|a_i - a_j| = |(a_i - L) + (L - a_j)| \leq |a_i - L| + |a_j - L| \leq \varepsilon$
所以 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是 Cauchy 列。

6.1.6 设 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$是比例数的 Cauchy 序列，并记 $L = \mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} (a_n)$，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $L$。

反证法：
假设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$不收敛到 $L$。
那么就存在一个 $\varepsilon > 0$，对任意的 $N \geq m$我们都至少能找到一个 $n \geq N$满足 $|a_n - L| > \varepsilon$
也就是说 $a_n > L +\varepsilon$或 $a_n < L - \varepsilon$
这里我们不妨设 $a_n > L +\varepsilon$
由于 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$是比例数的 Cauchy 序列。所以存在一个 $N'$当 $i, j \geq N'$时，$|a_i - a_j| < \varepsilon /2$
所以

$$a_i = a_n + a_i - a_n > a_n - |a_i - a_n| \geq L - \frac{\varepsilon}{2}$$

所以 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} (a_n) \geq L - \varepsilon / 2$与 $L = \mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} (a_n)$矛盾。
所以 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$收敛到 $L$。

6.1.7 证明定义 6.1.16 与定义 5.1.12 是相容的。

按照定义 5.1.12 一个数列有界需要存在一个有理数 $M$，满足 对于一切的 $n > m$有 $|a_n| \leq M$。
有理数 M 也是实数，所以这个数列也满足 6.1.16 对于有界数列的定义。
按照定义 6.1.16 一个数列有界需要存在一个实数 $M$，满足 对于一切的 $n > m$有 $|a_n| \leq M$。
我们又知道，对于任意的实数 $M$，都存在一个有理数 $M'$满足 $M' > M$，所以对于一切的 $n > m$有 $|a_n| \leq M'$。所以这个数列也满足 5.1.12 对于有界数列的定义。

6.1.8 证明定理 6.1.9

（a） 序列$(a_n + b_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $x+y$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n + \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$
对于任意的 $\varepsilon > 0$，因为 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是收敛的，所以存在一个 $N_a$，当 $n > N_a$时 $|a_n - x| < \varepsilon / 2$。因为 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$是收敛的，所以存在一个 $N_b$，当 $n > N_b$时 $|b_n - y| < \varepsilon / 2$。
所以当 $n > \max(N_a, N_b)$时，
$$|(a_n+b_n)-(x+y)| < |a_n - x| + |b_n - y| < \varepsilon$$
所以 序列 $(a_n + b_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $x+y$。

（b）序列$(a_n \times b_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $xy$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \times b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \times \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$

设 $Y = 1+|y|$，对于任意的 $\varepsilon > 0$，因为 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是收敛的，所以存在一个 $N_a > 0$，当 $n > N_a$时

$$|a_n - x| < \frac{\varepsilon}{2Y}$$
另外因为 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$是有界的，所以存在一个 $M > 0$，满足：
$$|a_n| < M$$
设 $X = \max(1+|x|, M)$，因为 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$是收敛的，所以存在一个 $N_b$，当 $n > N_b$时
$$|b_n - y| < \frac{\varepsilon}{2X}$$
所以
$$\begin{eqnarray} |a_n b_n-xy| &=& |a_n b_n -a_n y + a_n y - x b_n + x b_n - xy| \\ &=& |a_n(b_n - y) + (a_n - x)y| \\ &\leq& |a_n|\cdot|b_n - y| + |a_n - x|\cdot|y| \\ &\leq& |a_n| \frac{\varepsilon}{2X} + |y| \frac{\varepsilon}{2Y} \\ &\leq& M \frac{\varepsilon}{2X} + (|y|+1) \frac{\varepsilon}{2Y} \\ &\leq& \varepsilon\\ \end{eqnarray}$$
所以 ：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \times b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \times \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$

（c）对于任意实数 $c$，序列 $(c \times a_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $cx$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (c \times b_n) = c \times \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$

实数 $c$与Cauchy 序列$(c_n)^{\infty}_{n=m}, c_n = c$等价。
所以

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (c \times a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n \times a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} c_n \times \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = c x$$

（d）序列$(a_n - b_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $x-y$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n - \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$
因为
$$\lim_{n \rightarrow \infty} (-b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (-1 \times b_n) = -1 \times y = -y$$
所以:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + (-b_n)) = x - y$$

（e）设 $y \neq 0$并且对一切的$n > m$有 $b_n \neq 0$，那么序列 ${(b_n^{-1})}^{\infty}_{n=m}$收敛到 $y^{-1}$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (b_n^{-1}) = (\lim_{n \rightarrow \infty} b_n)^{-1}$$

因为 $y \neq 0$所以存在一个 $N > 0$当 $n > N$时，有 $|b_n| > |y/2|$。
因为 $(b_n)^{\infty}_{n=m}$收敛到 $y$，并且$y \neq 0$，所以对任意的 $\varepsilon > 0$，存在一个 $N'$，当 $n>N'$时

$$|b_n - y| < \frac{|y|^2}{2} \varepsilon$$

因此，当 $n > \max(N, N')$时，有：

$$|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{y}| = \frac{|b_n - y|}{|b_n y|} < \frac{2|b_n - y|}{|y^2|} < \varepsilon$$

所以：

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (b_n^{-1}) = (\lim_{n \rightarrow \infty} b_n)^{-1}$$

（f）设 $y \neq 0$并且对一切的$n > m$有 $b_n \neq 0$，那么序列 ${(a_n /b_n)}^{\infty}_{n=m}$收敛到 $x/y$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n}{\lim_{n \rightarrow \infty} b_n}$$
因为：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \times b_n^{-1}) = \frac{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n}{\lim_{n \rightarrow \infty} b_n}$$

（g）序列 $\max(a_n,b_n)$收敛到 $\max(x, y)$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \max(a_n,b_n) = \max(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n)$$

分两种情况讨论：
1. 当 $x = y$时，这时对任意的 $\varepsilon > 0$都存在 $N_1$，当 $n>N_1$时，有 $|a_n - x| < \varepsilon$，同时存在$N_2$，当 $n>N_2$时，有 $|b_n - x| < \varepsilon$，所以当 $n > \max(N_1, N_2)$时， 有$|\max(a_n, b_n)- x| < \varepsilon$，所以 $\max(a_n,b_n)$收敛到 $\max(x, y)$。
2. 当 $x \neq y$时，不妨设 $x > y$，那么存在一个$N>0$，当 $n>N$时，有 $a_n > b_n$，对任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1>0$当 $n>N_1$时，有 $|a_n - x| < \varepsilon$。所以当 $n>\max(N,N_1)$时，有 $|\max(a_n, b_n)-x| = |a_n-x| < \varepsilon$，所以$\max(a_n,b_n)$收敛到 $\max(x, y)$。
综上所述，有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \max(a_n,b_n) = \max(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n)$$

（h）序列 $\min(a_n,b_n)$收敛到 $\min(x, y)$，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \min(a_n,b_n) = \min(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n)$$

分两种情况讨论：
1. 当 $x = y$时，这时对任意的 $\varepsilon > 0$都存在 $N_1$，当 $n>N_1$时，有 $|a_n - x| < \varepsilon$，同时存在$N_2$，当 $n>N_2$时，有 $|b_n - x| < \varepsilon$，所以当 $n > \max(N_1, N_2)$时， 有$|\min(a_n, b_n)- x| < \varepsilon$，所以 $\min(a_n,b_n)$收敛到 $\min(x, y)$。
2. 当 $x \neq y$时，不妨设 $x > y$，那么存在一个$N>0$，当 $n>N$时，有 $a_n > b_n$，对任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1>0$当 $n>N_1$时，有 $|b_n - y| < \varepsilon$。所以当 $n>\max(N,N_1)$时，有 $|\min(a_n, b_n)-y| = |b_n-y| < \varepsilon$，所以$\min(a_n,b_n)$收敛到 $\min(x, y)$。
综上所述，有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \min(a_n,b_n) = \min(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n)$$