理论上的证明我这里就暂时不写了（懒），直接上结论和例题，理论证明等以后在补充吧。（果断挖坑）
定理：
对于 n nn 阶矩阵 A AA ，存在一个可逆矩阵 P PP，使得 P − 1 A P P^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵的充要条件是，A AA 有 n nn 个线性无关的特征向量。
设 A AA 的特征向量为 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 对应的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn。取 P = [ ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n ] P=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n]P=[ε1,ε2,⋯,εn] 则 P − 1 A P P^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵，对角线上的元素为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn
光说定理也太乏味了，来个例题加深一下理解吧
例题
设
A = [ 0 1 2 1 2 1 2 1 0 ] A=\begin{bmatrix} 0&1&\sqrt{2}\\ 1&\sqrt{2}&1\\ \sqrt{2}&1&0\end{bmatrix}A=⎣⎡012121210⎦⎤
- 求 A AA 的特征值和特征向量
- 找到一个可逆矩阵 P PP，使得 P − 1 A P P^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵
- 求 A n A^nAn 的表达式
参考答案
∣ λ E − A ∣ = λ ( λ + 2 ) ( λ − 2 2 ) = 0 |\lambda E-A| = \lambda(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-2\sqrt{2})=0∣λE−A∣=λ(λ+2)(λ−22)=0
得到 A AA 的特征值为
λ 1 = − 2 , λ 2 = 2 2 , λ 3 = 0 \lambda_1=-\sqrt{2},\lambda_2=2\sqrt{2},\lambda_3=0λ1=−2,λ2=22,λ3=0
对于特征值 λ 1 = − 2 \lambda_1=-\sqrt{2}λ1=−2,有特征向量 ε 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T \varepsilon_1=(1,0,-1)^{T}ε1=(1,0,−1)T
对于特征值 λ 2 = 2 2 \lambda_2=2\sqrt{2}λ2=22,有特征向量 ε 2 = ( 1 , 2 , 1 ) T \varepsilon_2=(1,\sqrt{2},1)^{T}ε2=(1,2,1)T
对于特征值 λ 3 = 0 \lambda_3=0λ3=0,有特征向量 ε 3 = ( 1 , − 2 , 1 ) T \varepsilon_3=(1,-\sqrt{2},1)^{T}ε3=(1,−2,1)T
令：
P = [ ε 1 , ε 2 , ε 3 ] = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] P =[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3]= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & \sqrt{2} &-\sqrt{2}\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}P=[ε1,ε2,ε3]=⎣⎡10−11211−21⎦⎤
根据前文提到的定理
P − 1 A P = [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}P−1AP=⎣⎡−2000220000⎦⎤
A n = P [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n P − 1 = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] − 1 = 1 4 [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ ( − 2 ) n 0 0 0 ( 2 2 ) n 0 0 0 0 ] [ 2 0 − 2 1 2 1 1 − 2 1 ] = 2 n 4 [ 2 ( − 1 ) n + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 n 2 2 n + 1 2 n 2 ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n 2 + 2 n ] \begin{aligned}A^n &= P\begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^nP^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-\sqrt{2})^n&0&0\\ 0&(2\sqrt{2})^n&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&-2\\ 1&\sqrt{2}&1\\ 1&-\sqrt{2}&1 \end{bmatrix}\\ & = \frac{\sqrt{2}^n}{4} \begin{bmatrix} 2(-1)^n+2^n&\sqrt{2}\cdot2^n&(-1)^{n+1}2+2^n\\ 2^n\sqrt{2}&2^{n+1}&2^n\sqrt{2}\\ (-1)^{n+1}2+2^n&\sqrt{2}\cdot 2^n&(-1)^n2+2^n \end{bmatrix} \end{aligned}An=P⎣⎡−2000220000⎦⎤nP−1=⎣⎡10−11211−21⎦⎤⎣⎡−2000220000⎦⎤n⎣⎡10−11211−21⎦⎤−1=41⎣⎡10−11211−21⎦⎤⎣⎡(−2)n000(22)n0000⎦⎤⎣⎡21102−2−211⎦⎤=42n⎣⎡2(−1)n+2n2n2(−1)n+12+2n2⋅2n2n+12⋅2n(−1)n+12+2n2n2(−1)n2+2n⎦⎤
2021年11月25日21:40:16