归纳法证明行列式性质

行列式中有一个重要性质，描述是，交换矩阵两行，行列式变号．

不同与课本中使用逆序数的证明，这里采用归纳法，证明如下：

数学归纳法，设

$A_{2\times 2} = \begin{bmatrix} a_{12} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}$

那么

$det(A)=\left| A\right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

变换一，二行的初等矩阵是:

$E_{12}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$det(E_{12}A)= \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} &a_{12} \end{vmatrix} = a_{21}a_{12}-a_{22}a_{11} = -det(A)$

假设 $n=k$ 的时候成立，那么当 $n=k+1$ 的时候． $E_{ij}$ 表示交换 $i,j$ 行的初等变换

$\\det(E_{ij}A) = (-1)^{s+1}a_{s1}det(M_{s1}) + (-1)^{s+2}a_ {s2}det(M_{s2})+ \cdots + (-1)^{s+(k+1)}a_{s,k+1}(M_{s, k+1})$

$s$ 是不同于 $i,j$ 的行．

由于 $M_{sm} \quad m\in 1, 2, \cdots,k+1$ 是 $k$ 阶矩阵，由假设知， $det(E_{ij}M)= -det(M')$ , $M'$ 是未经变换前的A矩阵的余子式．

$\\det(E_{ij}A) = (-1)^{s+1}a_{s1}det(M_{s1}) + (-1)^{s+2}a_ {s2}det(M_{s2})+ \cdots + (-1)^{s+(k+1)}a_{s,k+1}(M_{s, k+1})\\ \\=(-1)\cdot (-1)^{s+1}a_{s1}det(M'_{s1}) + (-1)\cdot (-1)^{s+2}a_ {s2}det(M'_{s2})+ \cdots + (-1)\cdot (-1)^{s+(k+1)}a_{s,k+1}(M'_{s, k+1}) \\ \\= (-1)\begin{bmatrix} (-1)^{s+1}a_{s1}det(M'_{s1}) + (-1)^{s+2}a_ {s2}det(M'_{s2})+ \cdots + (-1)^{s+(k+1)}a_{s,k+1}(M'_{s, k+1}) \end{bmatrix}\\ \\=-1 \cdot det(A)$

所以，证明完毕．

原文链接：https://blog.csdn.net/tugouxp/article/details/112062523