移动机器人——运动模型

一、简述

一般来说移动机器人的运动模型可分为完整约束和非完整约束。

• 完整约束（Holonomic，控制数=自由度）：可以用一个由位形变量$x,y,\theta$组成的方程来描述。包括全向轮模型。
• 非完整约束（Non-holonomic，控制数<自由度）：只能用位形变量的微分方程描述，无法积分成一个位形变量的约束方程。包括双轮自行车模型和差速模型 。

通常地面机器人的自由度为3，包括x,y与朝向。对于角轮（castor wheels）或者是全向轮（Omni-wheels）的机器人，是holonomic的，因为它能够朝各个方向移动，机器人的总自由度与可控自由度是相等的。

汽车模型可控的自由度为2，包括油门/刹车和方向盘转角，差速模型可控自由度为2，包括X方向和朝向（差速转向）。使得它难以满足任何方向的行驶（除非车辆发生打滑或侧滑），所以是非完整性约束。

相关概念

• 广义坐标：广义坐标是用来描述系统位形所需要的独立参数，或者最少参数。当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），尽量选择独立的广义坐标。因为这样可以减少代表约束的变量。
• 位形空间（configuration space，C-space）：所有位置形态集合。
• 任务空间（task space）：所有可能的机器人位姿构成的集合。

二、单轮模型（unicycle model）

单轮模型的位形为$(\theta ,x,y)$，$r$为车轮半径，$(x,y)$为车轮与地面接触点，$\varphi$为前进方向，单轮的规范简化模型为
$$\dot{q}=\left[\begin{array}{c}\dot{\varphi }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ r\cos \varphi & 0\\ r\sin \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

$u=(u_1,u_2)$为控制输入，$u_1$为前后行驶时的转动速度，$u_2$为前进方向得到转速，其控制变换为
$$u_1=\frac{v}{r},u_2=w(\dot{\varphi })$$

三、差速模型（Differentially-drive）

3.1 两轮差速

两轮差速机器人由两个独立驱动的半径为$r$轮子组成，围绕同一轴线旋转，并带有一个或多个脚轮、球形脚轮或使机器人保持水平的低摩擦滑块。

在实际应用中，车轮的组合可根据机器人对设计重心、转弯半径的要求，将辅助轮和驱动轮按照不同形式布置：

• 优点：结构及电机控制也相对简单，机器人灵活性较强，且算法易控制。
• 缺点：辅助轮（脚轮，万向轮）不适合在户外使用。

3.2 四轮差速

四轮差速车体为浅灰色外轮廓，可类似为深灰色的单轮模型，其运动学模型与两轮一样，因为同侧车轮转速相同。

四轮驱动在直线行走上能力较强，驱动力也比较大，但成本过高，电机控制较为复杂，为防止机器人打滑，需要更精细的结构设计。

小车车轮半径为$r$，左右轮角速度为$u=(u_L,u_R)$，线速度为

$$\begin{gathered} v_L=r\cdot u_l \\ {v}_R=r\cdot u_R \end{gathered}$$

$\{B\}$为小车的坐标系，其原点为小车的中心，X轴为小车前进方向，绕ICR旋转的角速度为：
$$\dot{\theta }=\frac{v_L}{R_L}=\frac{v_R}{R_R}$$
因为$R_R=R_L+W$（$W$为左右两轮间距），因此$R_L$为：
$$\begin{gathered} \frac{v_L}{R_L}=\frac{v_R}{R_L+W} \\ {v}_L\cdot R_L+v_L\cdot W=v_R\cdot R_L \\ {R}_L=\frac{v_L\cdot W}{v_R-v_L} \end{gathered}$$
将$R_L$带入方程可求得角速度（小车坐标系$\{B\}$相对于世界坐标系$\{O\}$）为：
$$\dot{\theta }=\frac{v_R-v_L}{W}$$
小车的线速度为：
$$v=\frac{v_R+v_L}{2}$$
小车的运动方程为：
$$\begin{gathered} \dot{x}=v\cos \theta \\ \dot{y}=v\sin \theta \\ \dot{\theta }=\frac{v_R-v_L}{W} \end{gathered}$$
规范简化模型为：
$$\dot{q}=\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{r}{w}& \frac{r}{w}\\ \frac{r}{2}\cos \theta & \frac{r}{2}\cos \theta \\ \frac{r}{2}\sin \theta & \frac{r}{2}\sin \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_L\\ u_R\end{array}\right]$$
差速模型可以原地旋转，但不代表其为完整约束，本质上小车只有X轴移动和旋转两个控制自由量。

设$w=\dot{\theta },d=\frac{W}{2}$，小车的控制变换为：
$$u_L=\frac{v-wd}{r},u_R=\frac{v+wd}{r}$$
$wd$为旋转时在离旋转中心$d$距离处产生的切向线速度，$v-wd$和$v+wd$为切向加上角速度产生的线速度的影响后的实际速度，其正负与固定在小车上的坐标系有关。

3.3 旋转运动分析

运动状态

• 当$v_l>v_r||v_l<v_r$时，机器做圆弧运动；
• 当$v_l=v_r$时，机器做直线运动；
• 当$v_l=-v_r$时，机器以左右轮中心点做原地旋转；

力分析

1. 原地旋转

差速模型在转动时，作用在车子上的为一对等大，方向相反的力，称为力偶。

由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作$(\vec{F},{\vec{F}}^{,})$

• 力偶中两力所在平面称为力偶作用面
• 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂

力偶在小车上形成一个力偶矩
$$M=\pm F\cdot d$$

力矩 = 转动惯量 x 角加速，力偶矩带动小车旋转。

2. 圆弧运动

当作用小车两侧速度不一致时，在小车上产生一个力偶和沿小车前进方向的力，使其旋转的同时前进产生圆弧运动。

四、汽车模型（Car-Like Mobile）

该模型也称为双轮自行车模型，常被误称为阿克曼（Ackeman）模型，因为汽车的转向使用阿克曼转向几何。

使用阿克曼转向的汽车，在转向时，两个前轮的转向角不同，使得所有车轮做无滑动的纯滚动（即车轮前进方向垂直于车轮于ICR之间的连线）

$\{O\}$为世界坐标系。

$\{B\}$为小车的坐标系，其原点为小车的后轮中心，X轴为小车前进方向，Y轴垂直于两轮中心线，在该坐标系下的小车速度为：
$${}^V\dot{x}=v{,}^V\dot{y}=0$$
虚线的交点为旋转瞬心（ICR），小车上的参考点（$\{B\}$的原心）将绕该瞬心做圆弧运动，$\theta$为前进方向，其角速度为：
$$\dot{\theta }=\frac{v}{R_B}$$
转弯半径为：
$$R_B=\frac{L}{\tan \gamma }$$
$\gamma$为前轮转向角度

小车的完整运动方程为
$$\dot{q}=\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\gamma }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\tan \gamma }{L}& 0\\ \cos \theta & 0\\ \sin \theta & 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right]$$

若转向控制为转向角$\gamma$而不是其速率$\dot{\gamma }$，则可以简化运动方程，其规范简化模型为：

当转向速率$\dot{\gamma }$足够高，使得转向角几乎为瞬时改变，则该假设合理，在这种情况下，$\dot{\gamma }$作为状态变量被消除，小车位形为$q=(\theta ,x,y)$

$$\dot{q}=\left[\begin{array}{c}\dot{\gamma }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \cos \theta & 0\\ \sin \theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right]$$

在当前条件下，当控制输入为$(v,w)$时，$v$为汽车前进速度，$w$为旋转速率，其控制变换为：
$$\begin{gathered} v=v \\ \gamma ={\tan }^{-1}(\frac{Lw}{v}) \end{gathered}$$

在世界坐标系$\{O\}$中，Y方向的速度约束为：
$$\dot{y}\cos \theta -\dot{x}\sin \theta \equiv 0$$

$\equiv$为恒等号，参变量恒为一个常数或恒定表达式时，总等于关系与变量无关。例如函数$f(x)\equiv k$表示该函数的值始终为k而与x的值无关。

根据不同情况，该模型存在不同的约束

• simple car model
  $$|v|⩽v_{max},|\theta |⩽{\theta }_{max}<\frac{\pi }{2}$$

• Reeds & Shepp’s car（前进、后退和停止）
  $$v\in \left\{-v_{max},v_{max}\right\},|\theta |⩽{\theta }_{max}<\frac{\pi }{2}$$

• Dubin’s car（前进和停止）
  $$v=v_{max},|\theta |⩽{\theta }_{max}<\frac{\pi }{2}$$

参考

《Robotics, Vision and Control: Fundamental Algorithms in MATLAB Second Edition》——4 Mobile Robot Vehicles

《现代机器人学：机构、规划与控制》——13 轮式移动机器人

Kinematics for Wheeled Systems

图解差速机器人的三种运动学模型

两轮差速移动机器人运动分析、建模和控制

无人驾驶汽车系统入门（五）——运动学自行车模型和动力学自行车模型