1. Laplace算子的定义

       直奔主题：Laplace算子被定义为函数梯度的散度，即：
       
       在图像处理，我们知道经常把Laplace算子作为边缘检测之一，也是工程数学中常用的一种积分变换。

• 梯度：
  假设在空间坐标系下，那么一个函数 f(x,y,z) 在点 (x₀ , y₀ ,z₀) 处的梯度定义如下：
   
                                     $▽f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}){|}_{x=x_0,y=y_0,z=z_0}$
   
  于是梯度函数：$▽f=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot \vec{k}$
   
• 散度：
  假设在空间坐标系下，若函数 $F(x,y,x)=F_x\cdot \vec{i}+F_y\cdot \vec{j}+F_z\cdot \vec{k}$ ，那么其散度定义如下：
   
                                     $divF=▽\cdot F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$
   
• Laplace算子：
                

2. 转换成离散形式

       在图像处理领域，由于图像有ｘ和ｙ两个方向，且是离散分布的，需要将Laplace算子方程表示为其在ｘ,ｙ两个方向的离散形式：

• 离散一阶微分方程： $\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$
• 离散二阶微分方程： $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$
• Laplace算子离散方程：
         
  转换成卷积核表示如下：