前置知识：直接积分法
第二类换元法简介
在求∫ f ( x ) d x \int f(x)dx∫f(x)dx时，若不好求，则我们可以令x = φ ( t ) x=\varphi(t)x=φ(t)，则
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( φ ( t ) ) d ( φ ( t ) ) = ∫ f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t \int f(x)dx=\int f(\varphi(t))d(\varphi(t))=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt∫f(x)dx=∫f(φ(t))d(φ(t))=∫f(φ(t))φ′(t)dt
这里涉及到一阶微分形式不变性。
以上就是第二类换元法。在积分式∫ f ( x ) d x \int f(x)dx∫f(x)dx比较复杂的情况下，可以用第二类换元法进行变换。
以下是几种代换方法。
三角代换
若被积函数含有二次根式，通常用三角换元，一般的三角换元如下：
- a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2}a2−x2型：令x = a sin t x=a\sin tx=asint
- a 2 + x 2 \sqrt{a^2+x^2}a2+x2型：令x = a tan t x=a\tan tx=atant
- x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2}x2−a2型：令x = a sec t x=a\sec tx=asect
可以通过画直角三角形来帮助理解。
三角代换的例题
题1： 计算∫ a 2 − x 2 d x \int \sqrt{a^2-x^2}dx∫a2−x2dx，( a > 0 ) (a>0)(a>0)
解：
\qquad令x = a sin t x=a\sin tx=asint，t = arcsin x a t=\arcsin \dfrac xat=arcsinax，d x = a cos t d t dx=a\cos tdtdx=acostdt
\qquad原式= ∫ a cos t ⋅ a cos t d t = a 2 ∫ cos 2 t d t =\int a\cos t\cdot a\cos t dt=a^2\int\cos^2tdt=∫acost⋅acostdt=a2∫cos2tdt
= a 2 ∫ 1 2 ( 1 + cos 2 t ) d t = a 2 2 ∫ ( 1 + cos 2 t ) d t \qquad\qquad =a^2\int \dfrac 12(1+\cos 2t)dt=\dfrac{a^2}{2}\int (1+\cos 2t)dt=a2∫21(1+cos2t)dt=2a2∫(1+cos2t)dt
= a 2 2 ( t + 1 2 sin 2 t ) + C = a 2 2 t + a 2 2 sin t cos t + C \qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}(t+\dfrac 12\sin 2t)+C=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{2}\sin t\cos t+C=2a2(t+21sin2t)+C=2a2t+2a2sintcost+C
= a 2 2 arcsin x a + a 2 2 ⋅ x a ⋅ a 2 − x 2 a + C \qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac xa\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C=2a2arcsinax+2a2⋅ax⋅aa2−x2+C
= a 2 2 arcsin x a + 1 2 x a 2 − x 2 + C \qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C=2a2arcsinax+21xa2−x2+C
题2： 计算∫ 1 ( x 2 + 1 ) 3 d x \int \dfrac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}dx∫(x2+1)31dx
解：
\qquad令x = tan t x=\tan tx=tant，t = arctan x t=\arctan xt=arctanx，d x = sec 2 t d t dx=\sec^2tdtdx=sec2tdt
\qquad原式= ∫ 1 sec 3 t ⋅ sec 2 t d t = ∫ cos t d t = sin t + C = x x 2 + 1 + C =\int\dfrac{1}{\sec^3 t}\cdot \sec^2 tdt=\int\cos tdt=\sin t+C=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C=∫sec3t1⋅sec2tdt=∫costdt=sint+C=x2+1x+C
当x = tan t x=\tan tx=tant时，x 2 + 1 = tan 2 t + 1 = sin 2 t cos 2 t + 1 = sin 2 t + cos 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t = sec 2 t x^2+1=\tan^2 t+1=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+1=\dfrac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\cos^2 t}=\dfrac{1}{\cos^2 t}=\sec^2tx2+1=tan2t+1=cos2tsin2t+1=cos2tsin2t+cos2t=cos2t1=sec2t
幂代换
被积函数含有a x + b n \sqrt[n]{ax+b}nax+b或a x + b c x + d n \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}ncx+dax+b时，通常用幂代换。
幂代换的例题
题1： 计算∫ 1 1 + 2 x d x \int \dfrac{1}{1+\sqrt{2x}}dx∫1+2x1dx
解：
\qquad令2 x = t \sqrt{2x}=t2x=t，x = 1 2 t 2 x=\dfrac 12t^2x=21t2，d x = t d t dx=tdtdx=tdt
\qquad原式= ∫ 1 1 + t ⋅ t d t = ∫ t 1 + t d t = ∫ ( 1 − 1 1 + t ) d t =\int\dfrac{1}{1+t}\cdot tdt=\int\dfrac{t}{1+t}dt=\int(1-\dfrac{1}{1+t})dt=∫1+t1⋅tdt=∫1+ttdt=∫(1−1+t1)dt
= t − ln ∣ 1 + t ∣ + C = 2 x + ln ∣ 1 + 2 x ∣ + C \qquad\qquad =t-\ln|1+t|+C=\sqrt{2x}+\ln|1+\sqrt{2x}|+C=t−ln∣1+t∣+C=2x+ln∣1+2x∣+C
倒代换
当分子和分母的幂次相差大于等于2 22时，通常用x = 1 t x=\dfrac 1tx=t1替换。
倒代换例题
题1： 计算∫ 1 x 4 ( x 2 + 1 ) d x \int \dfrac{1}{x^4(x^2+1)}dx∫x4(x2+1)1dx
解：
\qquad令x = 1 t x=\dfrac 1tx=t1，t = 1 x t=\dfrac 1xt=x1，d x = − 1 t 2 d t dx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21dt
\qquad原式= ∫ 1 1 t 4 ( 1 t 2 + 1 ) ⋅ ( − 1 t 2 ) d t =\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^4}(\frac{1}{t^2}+1)}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=∫t41(t21+1)1⋅(−t21)dt
= − ∫ t 4 1 + t 2 d t = − ∫ ( t 2 − 1 + 1 1 + t 2 ) d t \qquad\qquad =-\int\dfrac{t^4}{1+t^2}dt=-\int(t^2-1+\dfrac{1}{1+t^2})dt=−∫1+t2t4dt=−∫(t2−1+1+t21)dt
= − 1 3 t 2 + t − arctan t + C = − 1 3 x 2 + 1 x − arctan 1 x + C \qquad\qquad =-\dfrac 13t^2+t-\arctan t+C=-\dfrac{1}{3x^2}+\dfrac 1x-\arctan \dfrac 1x+C=−31t2+t−arctant+C=−3x21+x1−arctanx1+C
指数代换
由e x e^xex或e − x e^{-x}e−x构成的北被积函数，通常用t = e x t=e^xt=ex替换。
指数代换例题
题1： ∫ 1 1 + e x d x \int \dfrac{1}{1+e^x}dx∫1+ex1dx
解：
\qquad令t = e x t=e^xt=ex，x = ln t x=\ln tx=lnt，d x = 1 t d t dx=\dfrac 1tdtdx=t1dt
\qquad原式= ∫ 1 1 + t ⋅ 1 t d t = ∫ ( 1 t − 1 1 + t ) d t = ln ∣ t ∣ − ln ∣ t + 1 ∣ + C = x − ln ( e x + 1 ) + C =\int\dfrac{1}{1+t}\cdot \dfrac 1tdt=\int(\dfrac 1t-\dfrac{1}{1+t})dt=\ln|t|-\ln|t+1|+C=x-\ln (e^x+1)+C=∫1+t1⋅t1dt=∫(t1−1+t1)dt=ln∣t∣−ln∣t+1∣+C=x−ln(ex+1)+C
总结
在遇到比较复杂的积分题时，注意根据被积函数的特性来运用第二类换元法，最后要记得换回来。